Calcul de coordonnées de points et mesures de distance en utilisant les vecteurs

Bonjour, je suis sur un exercice mais je bloque un peu au niveau, si vous pouvez m'aider, merci

Voici l'énoncé :

Le Petit Chaperon Rouge rend visite à sa grand mère dans les bois. Il doit d'abord se rendre au village pour récupérer un pot de beurre puis passer par la clairière pour faire un bouquet de fleurs. Dans un repère (O;i,j), on représente la maison du petit chaperon rouge par le point D( -1; -2), le village par le point V(2;1), la clairière par le point C( 3; 0) et enfin la maison de Grand-Mère par le point M( 0; -3).

Questions :

(a) Faire une figure qui sera complétée par la suite.

(b) Calculer les coordonnées des vecteurs de déplacements du Petit Chaperon Rouge : $dv⃗,vc⃗,cm⃗,dm⃗.\vec{dv}, \vec{vc}, \vec{cm}, \vec{dm}.$

(a) Calculer les distances DV, VC, CM parcourues par le petit chaperon rouge depuis le village jusqu'à la maison de Mère-Grand, ainsi que la distance DM correspondant au trajet direct.

(b) Montrer que le quadrilatère DVCM sur lequel chemine le Petit Chaperon Rouge est un rectangle.

A la recherche du loup Le grand méchant loup fait peur au Petit Chaperon Rouge. Afin de sécuriser la forêt, un chasseur part à la recherche de la tanière du loup. Une vieille sorcière lui dit qu'elle se situe au point T qui vérifie la relation $ct⃗=(2cm⃗−vm⃗)+(3/2)dv⃗\vec{ct} =( 2\vec{cm} - \vec{vm}) + (3/2)\vec{dv}$ . On cherche maintenant les coordonnées du point T.

(a) Placer le point T sur la figure en laissant les traits de constructions apparents.
(b) Calculer les coordonnées de $ct⃗\vec{ct}$ .
(c) En déduire les coordonnées de T.

Réponses :

(a) Réalisé sur ma feuille

(b)

$dv⃗(2−(−1);1−(−2))=(3;3)\vec{dv}(2-(-1);1-(-2)) = (3;3)$
Je fais la même chose pour les 3 autres vecteurs :
$dm⃗(1;−1)\vec{vc}(1;-1) \ \vec{cm}(-3;-3) \ \vec{dm}(1;-1)$

(a)

DV = V(2-(-1))²+(1-(-2))² = V3²+3² = V9+9 = V18 = 3V2
Je fais la même chose pour les 3 autres vecteurs
VC = V2
CM = 3V2
DM = V2

On sait que \vec{DV} = -\vec{CM} donc \vec{DV} et \vec{CM} sont collinéaires, on sait aussi que DVCM est un parallélogramme car VC=DM et DV = CM, ils ont des côtés opposés de même longueur.

Montrons que le parallélogramme DVMC est un rectangle (Pythagore) :

En ayant calculer DC je trouve 2V5

DC = 2V5 (DC)² = (2V5)²=20
(DM)²+(CM)²=(V2)²+(3V2)²=2+18=20

(DC)²=(DM)²+(MC)²

Donc d'après le théorème de Pythagore le triangle DMC est rectangle en M.

(a) Et c'est à partir de là que je n'y arrive plus si quelqu'un pourrait me placer le point T en laissant les traits de construction pour que je puisse comprendre, merci beaucoup

Balises Latex rajoutées.

Bonjour,

Tes réponses sot exactes

Principe pour placer T dans le graphique.

Tu sais que :
$ct⃗=(2cm⃗−vm⃗)+(3/2)dv⃗\vec{ct} =( 2\vec{cm} - \vec{vm}) + (3/2)\vec{dv}$

Tu peux écrire :
$\fbox{\vec{ct} =( 2\vec{cm} + \vec{mv}) + (3/2)\vec{dv}}$

A partir du point C, tu traces un représentant du vecteur
$2cm⃗2\vec{cm}$
A partir l'extrémité trouvée, tu traces un représentant du vecteur
$mv⃗\vec{mv}$
A partir de la nouvelle extrémité trouvée, tu traces un représentant du vecteur
$(3/2)dv⃗(3/2)\vec{dv}$

La dernière extrémité trouvée est le point T

Est-ce bon si je trouve

\vec{CT}(1/2;5/2)
et
T(3,5;2,5)

merci

mais mon problème en fait c'est que je n'arrive pas à tracer le vecteur CT sur ma feuille, j'ai appris ça l'année dernière c'est pour ça que c'est flou. Est-ce cela sinon ?

C'est bon !

Une remarque relative au Latex

Lorsque tu écris \vec{CT}, tu le sélectionnes à la souris et tu cliques sur Latex
Les balises se mettent automatiquement
et tu obtiens : $ct⃗\vec{ct}$

Merci bien

De rien !