Raisonnement par récurence



  • Bonjour,

    J'ai un DM sur les suites et le raisonnement par récurrence et je bloque sur plusieurs questions puis-je avoir une aide merci:

    On considère la suite (Un) définie par U0U_0=0 et pour tout n ∈ N, UU_{n+1}=2U=2Un+3/Un+3/U_n+4
    En notant f: x→2x+3/x+4 on a pour tout n ∈N, UU
    {n+1}=f(Un=f(U_n)

    1a) Calculer U1U_1, U2U_2, U3U_3 et U4U_4

    1b) Etudier les variations de f sur ]-4;+∞[

    2a) Démontrer que pour tout n∈N*, 0≤Un≤1

    2b) En formant Un+1-Un démontrer alors que la suite (Un) est croissante

    2') Reprendre les deux questions précédentes en utilisant la monotonie de f sur un intervalle convenable

    3a) Que peut-on déduire des deux résultats précédents concernant la suite (Un)?

    3b)On note l, la limite de la suite (Un). Expliquer pourquoi l est solution de l'équation x= 2x+3/x+4. Que vaut l?

    1. On considère la suite (Vn) définie par: pour tout n ∈ N, Vn= Un-1/Un+3
      a) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique

    b) Exprimer pour tout n∈N, Vn puis Un en fonction de n

    c)Retrouver que (Un) est convergente et la limite de cette suite.

    J'ai seulement réussi à faire les questions 1a) 1b) et 2a) et commencer la 4a) pour les autres je suis bloquer

    Merci.


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Tu as donc fait le 1) et le 2)a)

    Piste pour le 2)b)

    Tu énoncé te donne la méthode :

    un+1un=2un+3un+4un=2un+3un(un+4)un+4u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-u_n=\frac{2u_n+3-u_n(u_n+4)}{u_n+4}

    Tu développes le numérateur qui est un polynôme du second degré d'inconnue UnU_n

    Après factorisation du numérateur, tu pourras obtenir, sauf erreur :

    un+1un=(un+1)(un+3)un+4u_{n+1}-u_n=\frac{(-u_n+1)(u_n+3)}{u_n+4}

    Tu sais que 0≤Un≤1 ; tu pourras déduire le signe de chaque facteur puis le signe de UU_{n+1}Un-U_n, d'où la réponse.

    Essaie de poursuivre.
    Reposte si besoin.



  • J'ai bien suivie votre explication mais lorsque que je developpe je trouve: 2U2U_n+3Un+3-U_n²+4/(Un+4/(U_n+4) et ensuite je ne vois comment vous avez reussi à trouver(Utrouver(-U_n+1)(U+1)(U_n+3)/Un+3)/U_n+4


  • Modérateurs

    Tu as écrit :
    Citation
    2Un+3-Un²+4/(Un+4)

    Recompte . Il y a une erreur au numérateur (et pense à mettre de parenthèses, si tu n'utilises pas le latex)

    Tu devrais trouver

    un+1un=un22un+3un+4u_{n+1}-u_{n}=\frac{-u_n^2-2u_n+3}{u_n+4}

    Numérateur de la forme ax²+bx+c, que tu factorises : a(xxa(x-x_1)(xx2)(x-x_2), x1x_1 et x2x_2 étant les zéros du polynôme.



  • Oui en effet j'avais commit des erreurs de calcul et j'ai bien trouver le résultat que vous m'aviez indiquer :).
    Concernant la question 2'), je ne vois pas qu'elle formule dois-je utiliser en utlisant la monotonie, ce n'est pas Un+1=f(n) ??


  • Modérateurs

    Attention : il s'agit de Un+1U_{n+1}= f(Unf(U_n)

    Pour la question 2'), la monotonie de la fonction f te permet de démontrer l'hérédité ( tu dis peut-être "transmission" ) des deux récurrences sans aucun calcul.

    Pour refaire la question 2a)

    Vu que f est croissante :

    0≤ UnU_n ≤1 => f(0) ≤ f(Unf(U_n) ≤ f(1)

    f(0)=0.75
    f(1)=1
    f(Uf(Un)=U</em>n+1)=U</em>{n+1}

    Donc :

    0≤ UnU_n ≤1 =>0.75 ≤ Un+1U_{n+1} ≤1

    A forciori, 0 ≤ Un+1U_{n+1} ≤1

    Pour refaire la question 2b)

    Tu raisonne pareil

    <strong>Un<strong>U_{n }Un+1U_{n+1}=> ...



  • Donc je fais UnU_nUn+1U_{n+1} => f(Unf(U_n)≤ f(Un+1f(U_{n+1})
    f(Unf(U_n)= Un+1U_{n+1}
    f(Un+1f(U_{n+1})= UnU_n

    Et que donc Un+1U_{n+1}UnU_n

    Est-ce correcte ?


  • Modérateurs

    J'ai impression que tu peines à comprendre le mécanisme des suites du type UU_{n+1}=f(Un=f(U_n)

    <strong>f(U<strong>f(U{n+1})=U</em>n+2)=U</em>{n+2}

    Pour comprendre :
    <strong>f(U<strong>f(U_0)=U1)=U_1
    <strong>f(U<strong>f(U_1)=U2)=U_2
    <strong>f(U<strong>f(U_2)=U3)=U_3
    <strong>f(U<strong>f(U_3)=U4)=U_4
    etc



  • Oui en effet j'ai beaucoup de mal avec ce chapitre mais je commence un peu à comprendre le système.


  • Modérateurs

    Tu t'habitueras, petit à petit.

    Je te détaille la démonstration par récurrence pour prouver que (Un) est croissante, en utilisant la fonction f

    Initialisation(au rang n=0)

    U0U_0=0
    U1U_1=0.75
    donc U0U_0U1U_1

    Transmission

    Tu supposes qu'à un rang n de N: UnU_nUn+1U_{n+1}

    Il faut que tu démontres que la propriété est vraie au rang (n+1), c'est à dire que Un+1U_{n+1}Un+2U_{n+2}

    DEMONSTRATION :

    Vu que f est croissante :

    U0U_0U1U_1 => f(U0f(U_0) ≤ f(U1f(U_1)

    f(Un)=Un+1f(Un)=U_{n+1}
    f(Un+1)=Un+2f(Un+1)=U_{n+2}

    Donc : Un+1U_{n+1 }Un+2U_{n+2}

    CQFD

    Tu tires la CONCLUSION GENERALE avec les termes employés dans ton cours.

    Lorsque tu as compris, tu passes à la question 3) :

    Toute suite croissante et majorée est ...........



  • Toute suite croissante et majorée est convergente


  • Modérateurs

    Oui ; précise un majorant de cette suite pour justifier qu'elle est majorée.



  • Cette suite est majorée par 1.

    Ensuite pour la question 3b) j'ai trouvé comme solutions 1 et -3 et comme la suite est majorée par 1 alors lim Un=-3
    Mais je ne suis pas sur de mon résultat.


  • Modérateurs

    Pour la 3b) il faut d'abord que tu expliques pourquoi l est solution de
    x=(2x+3)/(x+4)

    Peut-être l'as-tu déjà fait.

    Tu sais que 0 ≤ UnU_n ≤ 1

    Nécessairement,0 ≤ l ≤ 1

    Donc l ne peut pas valoir -3 !



  • Oui, je l'ai déjà expliquer.
    Alors elle vaut 1 ?


  • Modérateurs

    OUI .



  • D'accord merci beaucoup.


  • Modérateurs

    De rien !

    Reposte si tu as des difficultés avec la question 4, qui n'est pas un raisonnement par récurrence, et qui te permet de trouver la limite de la suite (Un(U_n) grâce à une suite géométrique (Vn(V_n).


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