Raisonnement par récurence

[elena_a]

Bonjour,

J'ai un DM sur les suites et le raisonnement par récurrence et je bloque sur plusieurs questions puis-je avoir une aide merci:

On considère la suite (Un) définie par $U_0$=0 et pour tout n ∈ N, $U$_{n+1}$=2U$n$+3/U_n$+4
En notant f: x→2x+3/x+4 on a pour tout n ∈N, $U${n+1}$=f(U_n$)

1a) Calculer $U_1$, $U_2$, $U_3$ et $U_4$

1b) Etudier les variations de f sur ]-4;+∞[

2a) Démontrer que pour tout n∈N*, 0≤Un≤1

2b) En formant Un+1-Un démontrer alors que la suite (Un) est croissante

2') Reprendre les deux questions précédentes en utilisant la monotonie de f sur un intervalle convenable

3a) Que peut-on déduire des deux résultats précédents concernant la suite (Un)?

3b)On note l, la limite de la suite (Un). Expliquer pourquoi l est solution de l'équation x= 2x+3/x+4. Que vaut l?

4. On considère la suite (Vn) définie par: pour tout n ∈ N, Vn= Un-1/Un+3
   a) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique

b) Exprimer pour tout n∈N, Vn puis Un en fonction de n

c)Retrouver que (Un) est convergente et la limite de cette suite.

J'ai seulement réussi à faire les questions 1a) 1b) et 2a) et commencer la 4a) pour les autres je suis bloquer

Merci.

[mtschoon]

Bonsoir,

Tu as donc fait le 1) et le 2)a)

Piste pour le 2)b)

Tu énoncé te donne la méthode :

$u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n+3}{u_n+4}-u_n=\frac{2u_n+3-u_n(u_n+4)}{u_n+4}$

Tu développes le numérateur qui est un polynôme du second degré d'inconnue $U_n$

Après factorisation du numérateur, tu pourras obtenir, sauf erreur :

$u_{n+1}-u_n=\frac{(-u_n+1)(u_n+3)}{u_n+4}$

Tu sais que 0≤Un≤1 ; tu pourras déduire le signe de chaque facteur puis le signe de $U$_{n+1}$-U_n$, d'où la réponse.

Essaie de poursuivre.
Reposte si besoin.

[elena_a]

J'ai bien suivie votre explication mais lorsque que je developpe je trouve: $2U$_n$+3-U_n$²$+4/(U_n$+4) et ensuite je ne vois comment vous avez reussi à $trouver(-U$_n$+1)(U$_n$+3)/U_n$+4

[mtschoon]

Tu as écrit :
Citation
2Un+3-Un²+4/(Un+4)

Recompte . Il y a une erreur au numérateur (et pense à mettre de parenthèses, si tu n'utilises pas le latex)

Tu devrais trouver

$u_{n+1}-u_n=\frac{-u_n^2-2u_n+3}{u_n+4}$

Numérateur de la forme ax²+bx+c, que tu factorises : $a(x-x$_1$)(x-x_2$), $x_1$ et $x_2$ étant les zéros du polynôme.

[elena_a]

Oui en effet j'avais commit des erreurs de calcul et j'ai bien trouver le résultat que vous m'aviez indiquer :).
Concernant la question 2'), je ne vois pas qu'elle formule dois-je utiliser en utlisant la monotonie, ce n'est pas Un+1=f(n) ??

[mtschoon]

Attention : il s'agit de $U_{n+1}$= $f(U_n$)

Pour la question 2'), la monotonie de la fonction f te permet de démontrer l'hérédité ( tu dis peut-être "transmission" ) des deux récurrences sans aucun calcul.

Pour refaire la question 2a)

Vu que f est croissante :

0≤ $U_n$ ≤1 => f(0) ≤ $f(U_n$) ≤ f(1)

f(0)=0.75
f(1)=1
$f(U$n$)=U</em>n+1$

Donc :

0≤ $U_n$ ≤1 =>0.75 ≤ $U_{n+1}$ ≤1

A forciori, 0 ≤ $U_{n+1}$ ≤1

Pour refaire la question 2b)

Tu raisonne pareil

$<strong>U_n$≤ $U_{n+1}$=> ...

[elena_a]

Donc je fais $U_n$≤$U_{n+1}$ => $f(U_n$)≤ $f(U_{n+1}$)
$f(U_n$)= $U_{n+1}$
$f(U_{n+1}$)= $U_n$

Et que donc $U_{n+1}$≥$U_n$

Est-ce correcte ?

[mtschoon]

J'ai impression que tu peines à comprendre le mécanisme des suites du type $U$_{n+1}$=f(U_n$)

$<strong>f(U${n+1}$)=U</em>n+2$

Pour comprendre :
$<strong>f(U$_0$)=U_1$
$<strong>f(U$_1$)=U_2$
$<strong>f(U$_2$)=U_3$
$<strong>f(U$_3$)=U_4$
etc

[elena_a]

Oui en effet j'ai beaucoup de mal avec ce chapitre mais je commence un peu à comprendre le système.

[mtschoon]

Tu t'habitueras, petit à petit.

Je te détaille la démonstration par récurrence pour prouver que (Un) est croissante, en utilisant la fonction f

Initialisation(au rang n=0)

$U_0$=0
$U_1$=0.75
donc $U_0$ ≤ $U_1$

Transmission

Tu supposes qu'à un rang n de N: $U_n$ ≤ $U_{n+1}$

Il faut que tu démontres que la propriété est vraie au rang (n+1), c'est à dire que $U_{n+1}$ ≤ $U_{n+2}$

DEMONSTRATION :

Vu que f est croissante :

$U_0$ ≤ $U_1$ => $f(U_0$) ≤ $f(U_1$)

$f(Un)=U_{n+1}$
$f(Un+1)=U_{n+2}$

Donc : $U_{n+1}$≤ $U_{n+2}$

CQFD

Tu tires la CONCLUSION GENERALE avec les termes employés dans ton cours.

Lorsque tu as compris, tu passes à la question 3) :

Toute suite croissante et majorée est ...........

[elena_a]

Toute suite croissante et majorée est convergente

[mtschoon]

Oui ; précise un majorant de cette suite pour justifier qu'elle est majorée.

[elena_a]

Cette suite est majorée par 1.

Ensuite pour la question 3b) j'ai trouvé comme solutions 1 et -3 et comme la suite est majorée par 1 alors lim Un=-3
Mais je ne suis pas sur de mon résultat.

[mtschoon]

Pour la 3b) il faut d'abord que tu expliques pourquoi l est solution de
x=(2x+3)/(x+4)

Peut-être l'as-tu déjà fait.

Tu sais que 0 ≤ $U_n$ ≤ 1

Nécessairement,0 ≤ l ≤ 1

Donc l ne peut pas valoir -3 !

[elena_a]

Oui, je l'ai déjà expliquer.
Alors elle vaut 1 ?

[mtschoon]

OUI .

[elena_a]

D'accord merci beaucoup.

[mtschoon]

De rien !

Reposte si tu as des difficultés avec la question 4, qui n'est pas un raisonnement par récurrence, et qui te permet de trouver la limite de la suite $(U_n$) grâce à une suite géométrique $(V_n$).