Suite Méthode de newton, valeur approchée de racine(5)

Bonjour,

J'ai un DM à faire sur la méthode de Newton et je bloque à la 7° question qui est la suivante :
Montrer que pour tout n, on a : $vn+1≤vn2v_{n+1}\leq v_{n}^{2}$

Voici toutes les données que l'on connait :
$vn=un−5v_{n}=u_{n}-\sqrt{5}$

$u_{n+1}=g(u_{n})$ avec $g(x)=x2+52xg(x)=\frac{x^{2}+5}{2x}$
(g est décroissante sur $[0;5]\left[0;\sqrt{5} \right]$ et croissante sur $\left[\sqrt{5};+inf[$)

On a montré que pour tout n,

$5<un+1<un<3\sqrt{5} \lt u_{n+1} \lt u_{n}\lt 3$
$5\sqrt{5}$ point invariant de la fonction g
La suite $u_{n}$ est décroissante, convergente, a pour limite $5\sqrt{5}$

J'essaie de faire une démonstration par récurrence et j'arrive à :
$vn+1<vn<(un−1−5)2v_{n+1}\lt v_{n}\lt (u_{n-1}-\sqrt{5})^{2}$

Je n'arrive pas à passer de $v_{n}$ à $v_{n}^{2}$

Auriez-vous, s'il vous plaît, une piste à me communiquer afin que je puisse débloquer la situation ?

Je vous en remercie d'avance.
Lulu

Latex modifié*

Bonjour,

Piste pour une démonstration directe,

Tu sais que $un=vn+5u_n=v_n+\sqrt 5$

$vn+1=un+1−5=un2+52un−5v_{n+1}=u_{n+1}-\sqrt 5=\frac{u_n^2+5}{2u_n}-\sqrt 5$

$vn+1=(vn+5)2+52(vn+5)−5v_{n+1}=\frac{(v_n+\sqrt 5)^2+5}{2(v_n+\sqrt 5)}-\sqrt 5$

Tu réduis au même dénominateur

Tu simplifies le nouveau numérateur

Tu dois trouver une expression du type

$vn+1=vn2...v_{n+1}=\frac{v_n^2}{...}$

Tu justifies que $\ge 1$ , d'où la réponse que tu cherches.

*Remarque relative à ton énoncé en latex
N'utilise pas < car cela engendre des erreurs.
Utilise \lt
*

Mille mercis.
J'avais commencé un raisonnement presque identique mais une erreur de calcul au développement du numérateur et de fait, ce numérateur ne se simplifiait pas comme il le devait.
Je fonce me mettre aux dernières questions.
Merci pour votre aide.
Lulu

Encore moi, j'ai des difficultés pour la question suivante :
Supposons que pour un certain n, $U_n$ soit une valeur approchée de √5 avec un développement décimal contenant au moins k chiffres significatifs corrects, montrer que le développement décimal de $U_{n+1}$ contient au moins 2k chiffres significatifs corrects.

développement décimal contenant au moins k chiffres significatifs corrects : je comprends de $U_n$ a k chiffres après la virgule correspondant à la valeur de √5
Et donc que $U_n$ - √5=a x $10^{-(k-1)}$ avec a nombre inférieur à 1

Puis je travaille avec :

$un+1−5=g(un)−5=...=(un−5)2un=(a×10−(k−1))22unu_{n+1}-\sqrt{5}=g(u_{n})-\sqrt{5}=...=\frac{\left(u_{n}-\sqrt{5} \right)}{2u_{n}}=\frac{\left( a\times10^{-(k-1)} \right)^{2}}{2u_{n}}$

Et je me retrouve avec un $10^{-2(k-1)}$ soit $10^{-(2k-2)}$
donc avec un développement décimal de 2k-2 chiffres corrects (au lieu de 2k demandé dans l'énoncé)

Pourriez-vous me dire si ma compréhension de la question est correcte et éventuellement me guider pour m'approcher de la solution, s'il vous plaît ?
Merci à vous

Dans la conclusion que tu proposes, tu as $2U_n$ au dénominateur...

Je n'ai pas le temps de regarder de près, mais vu que les questions se suivent, je te suggère d'utiliser la réponse de la questionprécédente

Tu viens de démontrer que $vn+1≤vn2v_{n+1} \le v_n^2$

c'est à dire que :
$un+1−5≤(un−5)2u_{n+1}-\sqrt 5 \le (u_n-\sqrt 5)^2$

Une remarque : si la notion de chiffres significatifs est conforme à la définition usuelle, ce ne sont pas seulement les chiffres après la virgule qu'il faut employer.
Je te mets un lien .

http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/spc/file/accompa/chiffres/co/Module_seq_1.html

√5 = 2.236...
Le "2" avant la virgule fait partie des chiffres significatifs.
En bref, pour k chiffres significatifs, il y a un chiffre avant la virgule et (k-1) après la virgule.

Bonjour,

je vous remercie pour votre aide, j'ai corrigé en utilisant la définition des chiffres significatifs et je suis partie de la relation démontrée à la question précédente.
Attendons maintenant la note ...

Merci et bonne journée

Je te souhaite une bonne note !