Etude d'une courbe représentative d'une fonction

Bonjour, à partir de la 3eme question j'ai des difficultés, j'aimerais avoir de l'aide

Soit f la fonction définie par: f(x) = (x-1)/(x+1)

On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O; i ;j) d'unité graphique 1 cm .

Déterminer l'ensemble D de définition de f.
Démontrer que:
pour tout réel x appartenant à D, f(x)= 1-( 2 / (x+1))
Déterminer le sens de variation de f sur ]-:inf:,-1[ puis sur ]-1;+:inf:[.
Par qu'elle transformation la courbe Cf est-elle l'image de l'hyperbole I d'équation y= (1/x) ?
Démontrer que le point Ω(-1;1) est un centre de symétrie de la courbe Cf.
Etudier la position de Cf par rapport à la droite ∆ d'équation y=1.

Salut.

f(x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x+1)

Déterminer le sens de variation de f sur ]-:inf:,-1[ puis sur ]-1;+:inf:[.

Un peu d'astuce ici. On pourrait très bien utiliser la dérivée, mais c'est une perte de temps. La suite du problème n'a pas de rapport apparent avec l'utilisation de la dérivée, donc laissons-là de côté.

L'astuce(quoique... mais en général les élèves se jettent sur la dérivée sans réfléchir), c'est de se servir de la question précédente!(génial hein )

On vient d'établir que f(x)=1-2/(x+1). Or:

1 est une constante.
-2/(x+1) est une fonction connue(ça ressemble à -1/x non?)

Et vu que tu connais les variations de ces 2 fonctions, tu devrais pouvoir conclure.

Par quelle transformation la courbe Cf est-elle l'image de l'hyperbole I d'équation y= (1/x) ?

Ah! Je savais bien que ça ressemblait à la fonction inverse.

Là, il faut effectuer un changement de variable je pense.

Démontrer que le point Ω(-1;1) est un centre de symétrie de la courbe Cf.

Le changement de variable t'a permi de déplacer les points d'une des courbes vers l'autre. En particulier, tu sais que la courbe de la fonction 1/x admet (0;0) pour centre de symétrie. En transformant ce point grâce à la question précédente(oui oui c'est l'astuce ultime, un exercice bien fait te questionne toujours dans un ordre logique, il te guide), tu devrais tomber sur le point (-1;1). Et comme certaines transformations conservent le centre de symétrie...

Etudier la position de Cf par rapport à la droite ∆ d'équation y=1.

Ca c'est une question qui va t'être souvent posée, et très simple à résoudre.

Tout simplement, tu effectues le calcul f(x)-y=1-2/(x+1)-1=2/(x+1).

Si cette quantité est positive, alors Cf est au-dessus de Δ.
Si cette quantité est négative, alors Cf est en dessous de Δ.

Tu comprends pourquoi? Fais un dessin si tu ne comprends pas, et interprète cette quantité.

Remarque: Après la question 3, j'ai volontairement fait exprès de ne pas beaucoup te guider. Cherche un peu, et indique-nous où tu en es dans ta reflexion.

@+

Bonjour j'ai le même exercice j'ai réussi tte les questions mais à partir de la question 8 pour a) b) et c) je ne sais pas comment procéder merci ....

Construire (delta) et Cf .
Soit M et N deux points de même abscisse x (x diff/-1 ) appartenant respectivement à Cf et à (delta) .

On note d(x) la distance MN.

a) Exprimer d(x) à l'aide d'une valeur absolue .
b) Calculer d(x) avec les réels suivants :

x=500; x= 1000; x= 1500 .
c) Déterminer les réels x tels que d(x) <= 10-^3