DM : propriété polynôme du second degré

Bonjour à tous, voilà en devoir maison cette semaine je dois faire la démonstration de cette propriété :

http://maths1s.chez.com/1S/seconddegre.pdf (c'est la deuxième page, le théorème 5)
Or voilà, j'ai eu beau me creuser la tête je vois pas comment on peut faire une démonstration avec ça, car pour moi c'est déjà démontrer (là par contre le théorème est très simplifié). J'ai du coup chercher la démonstration de cette propriété, or j'en ai pas trouver
Du coup voilà, je voudrais bien que vous m'orientiez sur cette démonstration (me donnez pas les résultats comme ça ça je veux pas moi je veux comprendre xD) ^^

Merci à tous et bonne soirée

Bonjour,

Je pense que tu dois partir de la forme canonique en incluant Δ et, dans chacun des 3 cas, tu expliques avec rigueur le raisonnement aboutissant au signe du polynôme.

Pour a ≠ 0,

$ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]$

En posant

$δ=b2−4ac\delta=b^2-4ac$

$\fbox{ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\delta}{4a^2}]}$

Tu discutes suivant le signe de Δ.

Tu as 3 cas à voir :Δ < 0 , Δ = 0 , Δ > 0

Je te détaillele premier cas : $δ<0\delta \lt 0$ (à toi de faire les deux autres cas)

$\fbox{\delta \lt 0}$

$4a2>04a^2 \gt 0$ car tout carré est positif ( et ici non nul car a ≠ 0 ) donc

$δ4a2<0\frac{\delta}{4a^2} \lt 0$

En multipliant par -1 :

$−δ4a2>0-\frac{\delta}{4a^2} \gt 0$

Or

$(x+b2a)2≥0(x+\frac{b}{2a})^2 \ge 0$ (comme tout carré)

En ajoutant $δ4a2\frac{\delta}{4a^2}$ avec $(x+b2a)2(x+\frac{b}{2a})^2$ , on obtient

$[(x+b2a)2−δ4a2]>0[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\delta}{4a^2}] \gt 0$

CONCLUSION

$\text{le produit a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\delta}{4a^2}] est donc du signe de a$

$\fbox{\text{donc a^2+bx+c est du signe de a}$

Remarque tu peux expliquer avec plus de détails chaque ligne, bien sûr.*