Limites Utilisation de la forme conjuguée


  • A

    Bonjour, je dois réviser sur les limites, cependant il y a un point du cours que je n'arrive pas à faire :

    a) lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)limx+f(x), x2+x+1−x\sqrt{x^2+x+1}-xx2+x+1x

    b) lim⁡x→−∞f(x),x2+x+1+x\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x), \sqrt{x^2+x+1}+xlimxf(x),x2+x+1+x

    c) lim⁡x→−∞f(x),x2+x−x\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x), \sqrt{x^2+x}-xlimxf(x),x2+xx

    pour la a) et b) à la fin je trouve quelque chose de la forme : x2+1x2+1+x\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}+x}x2+1+xx2+1, puis-je continuer en déterminant leurs limites en décomposant ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Idée : pense à mettre x en facteur au numérateur et au dénominateur et simplifier par x


  • mtschoon

    Je détaille le a)

    $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x=\frac{(x^2+x+1)-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x} \$

    f(x)=x(1+1x)x2(1+1x+1x2)+xf(x)=\frac{x(1+\frac{1}{x})}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}+x}f(x)=x2(1+x1+x21)+xx(1+x1)

    Pour x tendant vers +∞, on prend x >0, doncx2=x\sqrt{x^2}=xx2=x

    f(x)=x(1+1x)x(1+1x+1x2+1)f(x)=\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1)}f(x)=x(1+x1+x21+1)x(1+x1)

    Tu simplifies par x , tu fais tendre x vers +∞ et tu trouves 1/2 comme limite.

    RAPPEL :

    pour x ≥ 0, √x²=x
    pour x ≤ 0, √x²=-x


  • A

    C'est justement cela que je.n'ai pas compris : comment après simplification par x arrive-t-on à trouver 1/2 ?


  • mtschoon

    Après simplification par x, il reste ( pour x > 0 )

    f(x)=1+1x1+1x+1x2+1f(x)=\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}f(x)=1+x1+x21+11+x1

    Lorsque x tend vers +∞, 1/x tend vers 0, 1/x² tend vers 0

    Il reste :

    11+1=11+1=12\frac{1}{\sqrt 1 +1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}1+11=1+11=21


  • mtschoon

    Si tu veux t'entraîner, je te mets les réponses pour la b) et la c)

    Pour la b), même principe que pour la a), mais fais attention au fait que pour x < 0 ( vu que x tend vers -∞ ) √x²=-x

    Tu dois trouver pour limite -1/2

    Pour la c), il n'y a pas d'indétermination.

    Directement tu dois trouver +∞

    (Si tu transformais la c) avec la même méthode que pour la a) et la b), tu créerais une indétermination...)


  • A

    Merci, je viens de comprendre !

    Pour la b j'ai bien trouvée cela, pour la c) je me suis trompée de signe à la limite, c'est lorsque x tend vers +∞, excusez-moi.

    Après calcul de la c) je trouve également 1/2, est-ce bien cela ?


  • mtschoon

    oui, pour la c), en +∞, la limite est bien 1/2


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