Limites Utilisation de la forme conjuguée

Bonjour, je dois réviser sur les limites, cependant il y a un point du cours que je n'arrive pas à faire :

a) $lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x)$ , $x2+x+1−x\sqrt{x^2+x+1}-x$

b) $lim⁡x→−∞f(x),x2+x+1+x\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x), \sqrt{x^2+x+1}+x$

c) $lim⁡x→−∞f(x),x2+x−x\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x), \sqrt{x^2+x}-x$

pour la a) et b) à la fin je trouve quelque chose de la forme : $x2+1x2+1+x\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ , puis-je continuer en déterminant leurs limites en décomposant ?

Bonjour,

Idée : pense à mettre x en facteur au numérateur et au dénominateur et simplifier par x

Je détaille le a)

$f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x=\frac{(x^2+x+1)-x^2}{\sqrt{x^2+x+1}+x}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x} \$

$f(x)=x(1+1x)x2(1+1x+1x2)+xf(x)=\frac{x(1+\frac{1}{x})}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}+x}$

Pour x tendant vers +∞, on prend x >0, donc $x2=x\sqrt{x^2}=x$

$f(x)=x(1+1x)x(1+1x+1x2+1)f(x)=\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1)}$

Tu simplifies par x , tu fais tendre x vers +∞ et tu trouves 1/2 comme limite.

RAPPEL :

pour x ≥ 0, √x²=x
pour x ≤ 0, √x²=-x

C'est justement cela que je.n'ai pas compris : comment après simplification par x arrive-t-on à trouver 1/2 ?

Après simplification par x, il reste ( pour x > 0 )

$f(x)=1+1x1+1x+1x2+1f(x)=\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}$

Lorsque x tend vers +∞, 1/x tend vers 0, 1/x² tend vers 0

Il reste :

$11+1=11+1=12\frac{1}{\sqrt 1 +1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Si tu veux t'entraîner, je te mets les réponses pour la b) et la c)

Pour la b), même principe que pour la a), mais fais attention au fait que pour x < 0 ( vu que x tend vers -∞ ) √x²=-x

Tu dois trouver pour limite -1/2

Pour la c), il n'y a pas d'indétermination.

Directement tu dois trouver +∞

(Si tu transformais la c) avec la même méthode que pour la a) et la b), tu créerais une indétermination...)

Merci, je viens de comprendre !

Pour la b j'ai bien trouvée cela, pour la c) je me suis trompée de signe à la limite, c'est lorsque x tend vers +∞, excusez-moi.

Après calcul de la c) je trouve également 1/2, est-ce bien cela ?

oui, pour la c), en +∞, la limite est bien 1/2