Assertions Vraie ou fausse

Bonjour,

je voudrais comprendre pourquoi cette énoncé est Faux :

∃x∈ℜ ∀y∈ℜ x+y>0

ce que j'ai fait :

si x=-1 et y=-1
-1+(-1)<0 donc c'est faux

et pourquoi cette énoncé est Vrai :

∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y>0

si je fais comme l'exemple précédent :
si x=-1 et y=-1
-1+(-1)<0 donc c'est faux, pourquoi vrai ?

Merci

Bonjour am9511,

Quelle différence entre ∃ (il existe ) et ∀ (quel que soit) ?

pour le 1) pour un y donné, il faut prouver que l'on peut trouver un x
donc si y = -1, il suffit de prendre x > 1 donc la proposition est vraie.

il existe veut dire qu'il existe une unique variable

Oui,

donc pour un y donné peut-on trouver un x tel que x+y > 0
si y < 0, il suffit de prendre x = -y+1 par exemple donc ....

Pour la 1) la proposition est Faux d'après le corrigé

Vérifie l'énoncé du 1)

Bonsoir

Quelques réflexions du soir,

Une remarque am9511 :

∃ ne veut pas dire "il existe exactement un".

∃ veut dire "il existe
au moinsun".

Pour écrire "il existe exactement un" on utilise ∃!

Les
valeurs de véritédonnées dans l'énoncé me semblent correctes.

Pour la 1)

Pour étudier∃x∈ℜ ∀y∈ℜ x+y>0 , on peut étudier sanégation

∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y≤0

On peut prouver facilement que cette assertion est vraie

x+y ≤ 0 <=> y ≤ -x

Pour toute valeur x réelle , on peut trouver au moins une valeur y réelle (ici une infinité) telle que y ≤ -x : ce sont tous les réels de l'intervalle ]-∞,-x]

Conclusion : ∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y≤0 est vraie donc

∃x∈ℜ ∀y∈ℜ x+y>0 est fausse.

Pour la 2)

On peut prouver facilement que cette assertion est vraie

x+y > 0 <=> y > -x

Pour toute valeur x réelle , on peut trouver au moins une valeur y réelle (ici une infinité) telle que y > -x : ce sont tous les réels de l'intervalle ]-x,+∞[

Conclusion : ∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y>0 est vraie

*Bonne nuit (vu l'heure tardive !) *