Assertions Vraie ou fausse


  • A

    Bonjour,

    je voudrais comprendre pourquoi cette énoncé est Faux :

    1. ∃x∈ℜ ∀y∈ℜ x+y>0

    ce que j'ai fait :

    si x=-1 et y=-1
    -1+(-1)<0 donc c'est faux

    et pourquoi cette énoncé est Vrai :

    1. ∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y>0

    si je fais comme l'exemple précédent :
    si x=-1 et y=-1
    -1+(-1)<0 donc c'est faux, pourquoi vrai ?

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Bonjour am9511,

    Quelle différence entre ∃ (il existe ) et ∀ (quel que soit) ?

    pour le 1) pour un y donné, il faut prouver que l'on peut trouver un x
    donc si y = -1, il suffit de prendre x > 1 donc la proposition est vraie.


  • A

    il existe veut dire qu'il existe une unique variable


  • N
    Modérateurs

    Oui,

    donc pour un y donné peut-on trouver un x tel que x+y > 0
    si y < 0, il suffit de prendre x = -y+1 par exemple donc ....


  • A

    Pour la 1) la proposition est Faux d'après le corrigé


  • N
    Modérateurs

    Vérifie l'énoncé du 1)


  • mtschoon

    Bonsoir

    Quelques réflexions du soir,

    Une remarque am9511 :

    ∃ ne veut pas dire "il existe exactement un".

    ∃ veut dire "il existe
    au moinsun".

    Pour écrire "il existe exactement un" on utilise ∃!

    Les
    valeurs de véritédonnées dans l'énoncé
    me semblent correctes.

    Pour la 1)

    Pour étudier∃x∈ℜ ∀y∈ℜ x+y>0 , on peut étudier sanégation

    ∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y≤0

    On peut prouver facilement que cette assertion est vraie

    x+y ≤ 0 <=> y ≤ -x

    Pour toute valeur x réelle , on peut trouver au moins une valeur y réelle (ici une infinité) telle que y ≤ -x : ce sont tous les réels de l'intervalle ]-∞,-x]

    Conclusion : ∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y≤0 est vraie donc

    ∃x∈ℜ ∀y∈ℜ x+y>0 est fausse.

    Pour la 2)

    On peut prouver facilement que cette assertion est vraie

    x+y > 0 <=> y > -x

    Pour toute valeur x réelle , on peut trouver au moins une valeur y réelle (ici une infinité) telle que y > -x : ce sont tous les réels de l'intervalle ]-x,+∞[

    Conclusion : ∀x∈ℜ ∃y∈ℜ x+y>0 est vraie

    *Bonne nuit (vu l'heure tardive !) *


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