Démontrer par récurrence une inégalité d'une suite et déduire qu'elle est convergente

Bonjour,

Je bloque aussi sur un second exercice qui est le suivant:

On considère la suite (Un) définie par: pour tout n appartenant N*, Un= ∑ 1/k²

Montrer que (Un) est croissante.
Montrer par récurrence que: pour tout n≥1, Un≤2-(1/n)
En déduire que la suite (Un) est convergente et majorer sa limite.

Pourrais-je avoir de l'aide svp.

Merci

Bonjour,

Piste pour démarrer,

Je suppose que tu as voulu écrire : $un=∑k=1k=n1k2u_n=\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{k^2}$

$un+1=∑k=1k=n+11k2u_{n+1}=\sum_{k=1}^{k=n+1}\frac{1}{k^2}$

$1(n+1)2u_{n+1}=\sum_{k=1}^{k=n}\frac{1}{k^2}\ +\ \frac{1}{(n+1)^2}$

Donc :

$1(n+1)2u_{n+1}=u_n\ +\ \frac{1}{(n+1)^2}$

$1(n+1)2>0\frac{1}{(n+1)^2} \gt 0$ donc ..................

Un+1≥ Un ??

Oui ; tu peux même préciser $U_{n+1}$ > $U_n$

Pour l'initialisation (P1) est vrai
Ensuite pour l'hérédité, on suppose que (Uk) est vraie et on veut montrer que Uk+1 est vraie soit Uk+1< 2-1/k mais je ne sais pas comment faire ensuite

Attention : Pour l'hérédité, il faut que tu démontres que :

$U_{k+1}$ < 2-1/(k+1)

Quelques pistes pour la démonstration de l'hérédité

Tu supposes que, à un ordre k : $uk<2−1ku_k \lt 2-\frac{1}{k}$

Tu sais que $uk+1=uk+1(k+1)2u_{k+1}=u_k+\frac{1}{(k+1)^2}$

D'où: $uk+1<2−1k+1(k+1)2u_{k+1}\lt2-\frac{1}{k} +\frac{1}{(k+1)^2}$

Il faut transformer :

$1(k+1)2≤1k(k+1)\frac{1}{(k+1)^2} \le \frac{1}{k(k+1)}$

Or, $1k(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Donc :

$uk+1≤2−1k+1k−1k+1u_{k+1}\le 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Tu simplifies et tu obtiens la réponse souhaitée.

D'accord merci beaucoup

De rien et j'espère que tu as tiré les bonnes conclusions à la 3) .