Calculs des primitives de fonctions

Bonjour, j'ai été absent lors du dernier cours et je ne comprends pas comment faire les questions suivantes:
Donnez les primitives suivantes:
∫ (dx/x²+4)
∫ (dx/³√(x^8))

si vous pouviez m'expliquer. Merci d'avance.

Bonjour momona,

pour la première, il faut décomposer
$1+x^4$ = (1+√2x+x²)(1-√2x+x²)

$1/(1+x^4$ ) = (ax+b)/(1+√2x+x²) + (cx+d)/(1-√2x+x²)

Bonjour Noémi et momona,

Je ne fais que passer.

Autre version possible (en fonction des connaissances de momona)

Sachant que U'/(U²+1) admet pour primitive ArctanU, en faisant le changement de variable U=x/2, on tombe directement sur la réponse.

Ok alors j'essaie vous me direz si j'ai bien rédigé:

∫ dx/(x² + 4)

On pose t=x² d'ou dt=2x

Ainsi on a: 1/2 ∫ dt/(t+4)

Donc ∫ dx/(x² + 4)= 1/2 Arctan x/2 + C

Ta réponse est bien exacte mais je n'ai pas bien compris ta démarche...

Avec ton changement de variable t=x², dt =2xdx

Je te suggère t=x/2 donc dt=(1/2)dx

c'est à dire x=2t donc x²=4t² et dx=2dt

On transforme en :

$\bigint \frac{1}{4t^2+4}\times 2dt=\frac{1}{2}\bigint\frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}arctant+c=\frac{1}{2}arctan(\frac{x}{2})+c$

Pour ta seconde question je te suggère de mettre la fonction soius la forme $x^r$ ( avec r rationnel, différent de -1)
Ainsi, une primitive sera de la forme $x^{r+1}$ /(r+1)

Pour une vérification éventuelle, la seconde réponse peut s'écrire:

$−35x53+c=−35x53+c\frac{-3 }{5x^{\frac{5}{3}}}+c=\frac{-3}{5\sqrt[3]{x^5}}+c$