intégration



  • Bonjour, j'ai été absent lors du dernier cours et je ne comprends pas comment faire les questions suivantes:
    Donnez les primitives suivantes:
    ∫ (dx/x²+4)
    ∫ (dx/³√(x^8))

    si vous pouviez m'expliquer. Merci d'avance.


  • Modérateurs

    Bonjour momona,

    pour la première, il faut décomposer
    1+x41+x^4 = (1+√2x+x²)(1-√2x+x²)

    1/(1+x41/(1+x^4) = (ax+b)/(1+√2x+x²) + (cx+d)/(1-√2x+x²)


  • Modérateurs

    Bonjour Noémi et momona,

    Je ne fais que passer.

    Autre version possible (en fonction des connaissances de momona)

    Sachant que U'/(U²+1) admet pour primitive ArctanU, en faisant le changement de variable U=x/2, on tombe directement sur la réponse.



  • Ok alors j'essaie vous me direz si j'ai bien rédigé:

    ∫ dx/(x² + 4)

    On pose t=x² d'ou dt=2x

    Ainsi on a: 1/2 ∫ dt/(t+4)

    Donc ∫ dx/(x² + 4)= 1/2 Arctan x/2 + C


  • Modérateurs

    Ta réponse est bien exacte mais je n'ai pas bien compris ta démarche...

    Avec ton changement de variable t=x², dt =2xdx

    Je te suggère t=x/2 donc dt=(1/2)dx

    c'est à dire x=2t donc x²=4t² et dx=2dt

    On transforme en :

    \bigint14t2+4×2dt=12\bigintdtt2+1=12arctant+c=12arctan(x2)+c\bigint \frac{1}{4t^2+4}\times 2dt=\frac{1}{2}\bigint\frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}arctant+c=\frac{1}{2}arctan(\frac{x}{2})+c

    Pour ta seconde question je te suggère de mettre la fonction soius la forme xrx^r ( avec r rationnel, différent de -1)
    Ainsi, une primitive sera de la forme xr+1x^{r+1}/(r+1)


  • Modérateurs

    Pour une vérification éventuelle, la seconde réponse peut s'écrire:

    35x53+c=35x53+c\frac{-3 }{5x^{\frac{5}{3}}}+c=\frac{-3}{5\sqrt[3]{x^5}}+c


 

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