centre de gavité

[rania]

Bonjour,
J'ai un exercice et je n'arrive pas à le terminer
On considere un triangle rectangle en A isocèle avec AB=a; soit E un point de segment de droite AB distinct de A et B et soit F un point de segment de droite AC distinct de A et C tel que AF=AE=b
On pose IA=IC et OB = OF

• Calculer produit salaire AC.IB en fonction de a

AC.IB = -a²/2

*Montrer que (AO) et (CE) sont perpendiculaire
AO.CE=(AB+AO).(CA+AO)
=1/2(AB+AF).(CA+AO)
=1/2(0+0+ab-ab)=0
donc (AO) et (CE) sont perpendiculaire

b)Déterminer l'ensemble E / OA.OM = OA.OC on pose AB=AC=a AF=AE=b

OA.OM = OA.OC
OA(OM-OC)=0⇒ OA.CM=0
donc CM est perpendiculaire à OA et donc l'ensemble E est la droite Perpendiculaire à OA passant par C

3. soit L l'ensemble de point tel que MA²+AC.BM = 3a² /4
   Montrer que MA² +AC.MB =MA.MC et déduire l’ensemble L
   MA² +AC.MB = MA.MC
   MA² +AC.MB - MA.MC =0
   MA(MA+CM)+AC.MB =0
   MA.CA+AC.MB =0
   AC.(MB-MA) =0
   AC.(MB+MA) =0
   AC.AB=0
   L'ensemble L est est le plan ⊥ à AB

4. Soit G le barycentre de (A,1) et (B,2) on pose f(M)= MA²+2MB²

a) montrer que pour tout point M , f(M)=3MG²+GA²+2GB²

On a GA+2GB=0
MA²+2MB²= (MG+GA)²+(MG+GB)²
=MG²+2MG(GA+2GB)+GA²+2GB²
=3MG²+GA²+2GB²

b) Déterminer l'ensemble Q des points M / f(M)=a²

3MG²+GA²+2GB²=3(MA+AG)²+(GB+BA)²+2(GA+AB)²
=3MA²+6(MA.AG)+3AG²+GB²+2(GB.BA)+BA²+2GA²+4(GA.AB)+2AB²
=3MA²+AG²+GB²+AB²+6(MA.AG)+2(GB.BA)+4(GA.AB)

Je n'arrive pas à m'en sortir

[mtschoon]

Bonjour,

Je regarde uniquement la fin de ton exercice ( c'est à dire la question 4)b)

Piste,

Il faut utiliser la réponse à la question4)a)

$3m{g}^2+g{a}^2+2g{b}^2=a^2$

D'où:

$m{g}^2=\frac{a^2-g{a}^2-2g{b}^2}{3}$

Tu continues en calculant GA² et GB² en fonction de a

Reposte si ça ne suffit pas.

[rania]

Merci pour votre réponse
Mon problème ce que je n'arrive pas à choisir le bon point pour l'intercaler entre GA² et GB²

[mtschoon]

Tu peux calculer GA² et GB² en fonction de a²

Tu as peut-être dans ton cours des formules pour calculer$\overrightarrow{ga}$ et$\overrightarrow{gb}$ en fonction de $\overrightarrow{ab}$

Sinon, tu utilises la relation de Chasles pour les trouver

$\overrightarrow{ga}+2\overrightarrow{gb}=\vec{0}$

$\overrightarrow{ga}+2(\overrightarrow{ga}+\overrightarrow{ab})=\vec{0}$

En transformant :

$\overrightarrow{ag}=\frac{2}{3}\overrightarrow{ab}$

D'où

$a{g}^2=g{a}^2=\frac{4}{9}{a}^2$

Tu utilises la même méthode pour GB²

[rania]

Merci
3MG²+GA²+2GB²=a²
3MG²=a²-GA²-2GB²
on a GA+2GB=0⇒3GA+2AB=0⇒AG²=4/9AB=4/9a² ; 3GB=-AB⇒⇒BG²=AB/9=a²/9
3MG²=a²-4/9a²-2/9a²=a²-2/3a²=1/3a²
3MG²=1/3a²
MG²=1/9a²

l'ensemble Q est le cercle de centre G et de rayon R=a/3

[rania]

Merci
le dernier question de l'exercice
5) Déterminer l'ensemble Δ tel que MB²+MF²-2MA²=BF²/2
(MA+AB)²+(MA+AF)²-2MA²=BF²/2

2MA(AB+AF)+AB²+AF²=BF²/2

2MA(AB+AF)=1/2(BA+AF)²-AB²-AF²

2MA(AB+AF) =-3/2AB²-1/2AF²+BA.AF

j'ai des doutes sur mon raisonnement

[mtschoon]

Effectivement, tu t'égares.

Pour transformer MB²+MF² tu as peut-être une relation métrique dans ton cours :

O étant le milieu de [BF] (change de notation si besoin) :

$m{b}^2+m{f}^2=2m{o}^2+\frac{b{f}^2}{2}$

Si cette relation n'est pas dans ton cours, tu la démontres avec la relation de Chasles en faisant intervenir le point O milieu de [BF]

En remplaçant ensuite dans la relation de la question 5) tout se simplifiera et tu devrait pouvoir répondre.

Reposte si besoin.

[rania]

MB²+MF²-2MA²=BF²/2 (MO+OB)² + (MO+OF)² - 2(MO+OA)² = BF²/2
MO²+ 2 MO.OB + OB² + MO² + 2 MO.OF + OF² - 2MO² -2OA² -4MO.OA = BF²/2
2MO(OB+OF) + OB²+OF²-2OA² -4MO.OA = BF²/2
BF²/2-2OA² -4MO.OA = BF²/2
2OA²+4MO.OA =0
OA²+2MO.OA =0
2MO.OA =-OA²
MO.OA =-OA²/2
ET Après

[mtschoon]

Comme tu écris pareil les vecteurs et les normes, tes calculs sont difficiles à lire...

Comme je te l'ai indiqué, tu transformes MB²+MF² en 2MO²+BF²/2

Si besoin, je te rappelle la marche à suivre pour cela :

$m{b}^2+m{f}^2={\overrightarrow{mb}}^2+{\overrightarrow{mf}}^2=(\overrightarrow{mo}+\overrightarrow{ob}{)}^2+(\overrightarrow{mo}+\overrightarrow{of}{)}^2$

En développant et en regroupant, on arrive à

$m{b}^2+m{f}^2=2{\overrightarrow{mo}}^2+2\overrightarrow{mo}.(\overrightarrow{ob}+\overrightarrow{of})+{\overrightarrow{ob}}^2+{\overrightarrow{of}}^2$

O étant le milieu de [BF], des simplifications s'imposent et en transformant tu dois obtenir :

$\fbox{mb^2+mf^2=2mo^2+\frac{bf^2}{2}}$

Ensuite, tout devient simple.

Tu remplaces dans ce qui est demandé :

$m{b}^2+m{f}^2-2m{a}^2=\frac{b{f}^2}{2}$

d'où :

$2m{o}^2+\frac{b{f}^2}{2}-2m{a}^2=\frac{b{f}^2}{2}$

Je te laisse simplifier et essayer de trouver la fin.

Tiens nous au courant si tu as besoin.

[mtschoon]

Je t'indique la réponse pour que tu puisses vérifier :

Tu dois trouver que l'ensemble des points M est la médiatrice de [OA]

[rania]

Bonjour,
Merci pour votre patience
c'est OK
M est bien le milieu de OA

[mtschoon]

Attention.

M n'est pas forcément au milieu de [OA]

Ta as du trouver MO=MA

M est équidistant de O et de A : il y a une infinité de points équidistants de O et de A ; ce sont les points de la médiatricedu segment [OA]