Montrer qu'une suite est majorée et déduire sa limite



  • bonjour,

    J'ai ce dm à faire et je bloque A partir de la question 2)..
    Je sais qu'il y a une formule pour u1,u2, mais impossible de trouver laquelle. Malgré tout je trouve des valeurs. Ensuite c'est le flou total..

    Merci de votre aide c'est très urgent.. :frowning2: :frowning2: :frowning2:

    Merci écrire l'énoncé à la main.



  • Bonjour ,

    Si tu as besoin d'aide, merci d'écrire ton énoncé à la main.



  • Pas de problème merci!

    Exercice 2 : on considère la suite (un) définie par u0=1 et piur tout n élément de N : Un+1 =1/3Un + n -2

    1. calculer U1, U2, U3

    2. A) démontrer que piur tout entier naturel n>=4 : Un>=0
      b) en déduire que pour tout entier naturel n>=5 : un >=n-3
      C) en déduire la limite de la suite (Un)

    3. on définit la suite (vn) par : vn=-2Un+3n-21/2 pour yout n élément de N

    A) démontrer que la suite Vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et E 1er terme
    B) en déduire que pour tout N élément de N, Un=25/4(1/3)^n+3/2n-21/4



  • Bonjour,

    Piste pour comprendre,

    u0=1u_0=1

    En remplaçant n par 0 dans la formule de l'énoncé :

    u1=13u0+02=132=...=53u_1=\frac{1}{3}u_0+0-2=\frac{1}{3}-2=...=-\frac{5}{3}

    Tu continues,

    En remplaçant n par 1 dans la formule de l'énoncé :

    u2=13u1+12=...u_2=\frac{1}{3}u_1+1-2=... (tu comptes)

    Tu continues,

    En remplaçant n par 2 dans la formule de l'énoncé :

    u3=13u2+22=...u_3=\frac{1}{3}u_2+2-2=... (tu comptes)

    etc

    *Essaie de poursuivre ; une récurrence va très bien pour la 2)

    Tiens nous au courant.



  • merci de votre reponse je pense avoir compris! Je trouve les valeurs pour u2= -14/9 et pour u3 = -14/27.

    Par la suite pour la 2)a) j'ai fait :

    initialisation

    Pour N=5 on A :
    U5 = 1/3U4 + 4-2
    U5 = 553/243. > 0 donc p(5) est vraie.

    hérédité

    Supposons que P(n) est vraie pour un entier naturel n donné :
    Un+1 >= 0 ↔️ un>= 0
    ↔️ 1/3 Un >= 0 sachant que n>4 on a :
    ↔️ 1/3Un + n >= 4
    ↔️ 1/3Un + n - 2 >= 2
    ↔️ Un+1 >= 2 donc p(n) est héréditaire.

    Conclusion

    P(5) est vraie
    P(n) est héréditaire,
    Donc p(n) est vraie pour tout n>4

    Et après je n'y arrive pas..je suis deja pas sûre de mon raisonnement ..^^!



  • Oui pour U1U_1,U2U_2,U3U_3

    Pour le 2)a), tu as marqué n≥4, donc pourl'initialisation il faut prendre n=4

    Pour l'hérédité, ton raisonnement est bon, mais ce ne sont pas des équivalences logiques (comme je crois avoir vu), mais des implications.
    UnU_n ≥ 0 => Un+1U_{n+1} ≥ 0

    Pour la 2)b), un raisonnement par récurrence convient aussi en utilisant, pour l'hérédité, la propriété démontrée au 2)a)



  • D'accord merci pour le 2)a).
    Pour l'hérédité je dois donc écrire un>= 0 ↔️ Un+1>=0 ET ensuite je garde mon raisonnement?

    Je vais essayer le 2)b) je bloque beaucoup!



  • Pour le 2)a), cette flèche ↔️ est ambigüe...en principe, elle veut dire "équivaut", ce qui n'est pas le cas ici.

    Tu mets des "donc" à la place (ou regarde comment rédige ton professeur).

    Le 2)b) est simple en utilisant, pour l'hérédité, le fait que Un est positif (propriété démontrée au 2)a) )



  • Merci pour la rédaction! Je vais en tenir compte. Mais puis-je garder mon raisonnement par la suite..?

    Je ne comprend pas..pouvez-vous développer..?



  • Tu parles de quoi ? du 2)a) ou du 2)b) ?



  • Du 2)b)..



  • Tu prouves l'initialisation pour n=5 (facile)

    Pour l'hérédité

    A un ordre n ( n ≥ 5) , tu supposes que <strong>Un<strong>U_n ≥ n-3

    Tu dois démontrer que la propriété est vraie à l'ordre (n+1), c'est à dire que Un+1U_{n+1}≥ n+1-3 c’est à dire**Un+1U_{n+1} ≥n-2**

    Début de la démonstration :

    un+1=13un+n2u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+n-2

    D'après le 2)a) , UnU_n ≥ 0 donc (1/3)Un(1/3)U_n ≥ 0

    donc (1/3)Un(1/3)U_n+n-2 ≥ n-2 donc ............



  • Merci de votre reponse,

    Initialisation : ok.
    Hérédité :

    Supposons que Pn est vraie pour un entier naturel n donné.
    On a : Un>= n-3
    Un+1 >= n+1-3
    Un+1 >= n-2
    D'après la 2)A), Un>= 0 doc 1/3Un >= 0 donc 1/3Un+n-2 >= 0
    Un+1>= n-2
    Un+1-1 >= n-3
    Un >= n-3

    Pn est héréditaire.

    Conclusion : ok.

    Est-ce que c'est ça..?



  • Revois ta façon de détailler car c'est confus.

    Il faut partir de**UnU_n > n-3** et arriverlogiquement à à Un+1U_{n+1} > n+1-3 c'est à dire**Un+1U_{n+1} > n-2**

    Ensuite, bien sûr, tu fais une "jolie" phrase : la propriété est vraie pour n=5, elle est héréditaire, donc vraie pour tout n supérieur ou égal à 5



  • Je comprend pas quels "indices" nous permettent de partir de un>= N-2..



  • J'ai une faute de frappe dans ma dernière réponse.

    L'énoncé te dit :
    Citation
    en déduire que pour tout entier naturel n>=5 : un >=n-3
    Tu démontres cela par récurrence :

    Par hypothèse, tu supposes donc que <strong>Un<strong>U_n > n-3 et tu dois arriver logiquement à à Un+1U_{n+1 }> n+1-3 c'est à dire <strong>Un+1<strong>U_{n+1} > n-2

    C'est le principe même du raisonnement par récurrence.



  • Je comprend !! Du moins je crois..

    Voici donc mon raisonnement :
    -> initialisation : ok.
    -> hérédité :

    Supposons que...
    un≥n-3
    D'après le A) on sait que Un≥ 0 quand n≥4.
    1/3(Un) ≥ n-3 × 1/3
    1/3(Un) + n -2 ≥ n-1 + n -2
    Un+1 ≥ n+1-3
    Un+1 ≥ n-2

    -> conclusion : ok.

    Donc moi je comprend ça..? Lz soucis c'est qu'on veut montrer que c'est supérieur à n-3 quand n est supérieur à 5. Je vois pas en quoi cela nous le montre...



  • Tu arrives à la bonne réponse mais il y a des fautes dans tes calculs

    Hérédité :

    Tu sais que pour n ≥ 4, donc en particulier pour n≥5 , un0u_n \ge 0 (question 2)a)

    Vu que 1/3 est un nombre positif , le produit de 1/3 par un nombre positifest positif

    13un0\frac{1}{3}u_n \ge 0

    Tu ajoutes n-2 à chaque membre de cette inégalité :

    13un+n20+n2\frac{1}{3}u_n +n-2\ge 0+n-2

    13un+n2n2\frac{1}{3}u_n +n-2\ge n-2

    Tu sais queun+1=13un+n2u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n +n-2

    Donc :

    un+1n2u_{n+1} \ge n-2

    CQFD



  • Je comprend tout ce que vous avez fait! C'est le même principe que le calcul du 2)A) enfin plus ou moins.
    Mais desolee d'insister et de ne pas comprendre ça, en quoi cela nous montre-y-il que un≥N-3 pour n ≥ 5...



  • Aaaaah! J'ai capté ! 🤔
    Par exemple, on arrive donc à Un ≥ n-2, donc genre Un ≥ 5-2 soit Un ≥ 3. Ce qui est bien plus grand que Un ≥ n-3 exemple Un ≥ 5-3 soit Un ≥ 2. Donc on l'a bien prouvé? Bon mon explication est pas du tout claire mais..



  • Tant mieux si tu as "capté", mais ce que tu écrit est vraiment confus.

    Je te suggère de revoir ton cours sur le principe du raisonnement par récurrence, car j'ai l'impression que c'est le principe même que tu n'as pas bien assimilé.



  • Non non le principe je le connais c'est simple. Juste cet exemple était nouveau. Et je comprenais pas tout. Mais maintenant j'ai compris fin je pense. Juste ce que je comprenais pas là c'était le dernier résultat pour l'hérédité. Je comprenais pas en quoi n-2 etait sup à n-3 sauf que si fin c'est logique. J'avais pas fait le rapprochement.
    Le truc c'est que je ne devais pas faire un raisonnement par récurrence c'est ça qui me bloquait ici, j'avais aucune idée de comment partir, cu qu'il fallait "déduire" apres ca veut pas dire qu'on peut pas mais..
    Mais fin si le principe du r.par.r je le connais!

    Merci pour votre aide en tous cas! (Et votre patience..)



  • De rien et bonne nuit !



  • Bonne nuit à vous!



  • Bonne nuit à vous!


 

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