Les suites encore et toujours...!

Bonjour bonjour,
Je sollicite une fois de plus votre aide pour mon devoir maison que je n'ai toujours pas fini Il me reste un exercice à faire avec une démonstration par récurrence. Je connais le principe tout ça fait initialisation, hérédité, conclusion.

Alors voici l'énoncé :
Démontrer par récurrence que $n^3$ +2n est un multiple de 3.

Alors voici mes réflexions :
Initialisation : pour n = 0
$0^3$ + 2× 0 = 0 multiple de 3.

Hérédité : supposons que Pn est vraie pour un entier naturel n donné :
n³+2n = 3x (3x représentant le multiple donc 3 × quelque chose)
n³+n+ 2n +n = 3x + n
(n+1)³ + 2(n+1) = 3x + n (ou 2n? Je ne sais pas..) donc je suis arrivé là sans vraiment que ça m'aide..apres j'ai eu une autre idée développer ce que j'avais..
n³+3n²+5n+1³+2 = 3x + n
n³+3n²+5n+1³=3x+n-2

Et là flou total..deja que je ne sais pas si cela est juste, et cela m'étonnerait beaucoup.. Si quelqu'un pouvait m'éclairer je lui en serai très reconnaissante. Merci!!

Bonjour,

Piste pour l'hérédité,

Tu supposes que $n^3$ +2n=3x avec x entier.

Tu dois démontrer $n+1)^3$ +2(n+1)=3x' avec x' entier

Début de la démonstration :

tu développes

$n+1)^3+2(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+2n+2$

Tu isoles $n^3$ +2n que tu remplaces par 3x

$n+1)^3+2(n+1)=(n^3+2n)+3n^2+3n+3$

$n+1)^3+2(n+1)=3x+3n^2+3n+3$

Tu mets 3 en facteur et tu termines.

je be suis donc plus bloquée !
Merci de votre aide !!

De rien !

A+