Etude de fonction à variable complexe
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Ffirstchil974 dernière édition par
Bonjour tout le monde.
Je rencontre quelque difficultés pour un exercice du niveau supérieur. Voici le sujet :
On considère l'application f qui à un complexe z associe f(z)=(z-1)/(1-z barre)
1- Déterminé l'ensemble de définition D de f
2- a) démontrer que ∀z∈D, lf(z)l=1. f est-elle surjective ?
b) Quelle relation existe-t-il entre IM(f) et U(ensemble des complexes de modules 1)
3- Résoudre f(z)=1. f est-elle injective ?
4- Soient a et b deux nombres complexes différents de 1 et A,B et I les points du plan complexe d'affixes respectives a,b et 1.
a) Démontrer que f(a)=f(b)⇔(a-1)/(b-1)∈mathbbRmathbb{R}mathbbR
b) En déduire une condition géométrique nécessaire et suffisante portant sur A,B et I pour que f(a)=f(b)
5- Soit α∈]0.2π[.
a) Calculer f(e^(iα)) en l’écrivant sous forme exponentielle.
b) On considère l'équation (E): f(z)=e^(iα)
i) Démontrer que ∀z∈D, f(z)=e^(iα)⇔ e^(-iα/2)(z-1)=-e^(iα/2)(z barre -1)
ii) En déduire l'ensemble solution S des solutions de l'équation (E)
6- Déterminer l'ensemble Im(f)=f(D)Pour la première question, je pense que D={z∈mathbbCmathbb{C}mathbbC et que z≠1}, mais je ne suis pas sur et je ne sais pas comment le démontrer.
Pour la seconde question, j'ai posé z=x+iy et j'ai montrer que lf(z)l=1. J'ai ensuite dit que la fonction était surjective car le module de la fonction f est égale à 1 donc l'ensemble des images de z par f se trouve sur le cercle trigonométrique, donc que la fonction f admet qu moins un antécédent.
Pour le petit b), je pense que la relation est : Im(f)=U.Pour la troisième question, j'ai aussi posé z=x+iy et j'ai résolu f(z)=1. J'ai trouvé x=1.
J'ai ensuite dit qu'elle n'était pas injective car z=1+9i et z'=1+3i, on l'a même image par f.C'est là que je bloque.
Pour la quatrième question, j'ai eu l'idée de démontrer cette équivalence par une double implication mais je ne sais pas du tout comment montrer que (a-1)/(b-1)∈mathbbRmathbb{R}mathbbR Pour le petit b, je n'en est aucune idée.Pour la cinquième question:
a) J'ai calculé f(e^(iα)) et j'ai trouvé: [-e^(2iα) + e^(iα)]/2. Mais je pense que c'est faux.
b) i) Je suis parti d'un membre de droite et je suis tombé sur le membre de gauche.
ii) Je ne vois pas quel raisonnement utilisé pour répondre à cette question.
6- Je pense qu'il me manque trop d'éléments pour pouvoir répondre.Je vous remercie d'avance pour votre aide et vous souhaite une excellente journée
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Je n'ai pas le temps de tout regarder ; je regarde les 4 premières questions.
1)Revois ta réponse.
Tu peux poser z=x+iy avec x ∈ R et y ∈ R
Valeur "interdite" :
1−z‾=0↔z‾=1↔x−iy=1+0i↔x=1 et y=0↔z=11-\overline{z}=0 \leftrightarrow \overline{z}=1 \leftrightarrow x-iy=1+0i \leftrightarrow x=1 \ et\ y=0 \leftrightarrow z=11−z=0↔z=1↔x−iy=1+0i↔x=1 et y=0↔z=1
Donc Df=....
2)a) Revois ta réponse.
Vu que [f(z)|=1, les complexes (images) dont le module ne vaut pas 1 n'ont pas d'antécédent, donc.........
2)b)Revois ta relation ; c'est Im(f) ⊂ U
Pour obtenir l'égalité, il faut avoir fait tout l'exercice.
3)OK
4)a)
f(a)=f(b)↔a−11−a‾=b−11−b‾↔a−1b−1=1−a‾1−b‾↔a−1b−1=a‾−1b‾−1f(a)=f(b) \leftrightarrow \frac{a-1}{1-\overline a}=\frac{b-1}{1-\overline b} \leftrightarrow \frac{a-1}{b-1}=\frac{1-\overline a}{1-\overline b} \leftrightarrow \frac{a-1}{b-1}=\frac{\overline a -1}{\overline b-1}f(a)=f(b)↔1−aa−1=1−bb−1↔b−1a−1=1−b1−a↔b−1a−1=b−1a−1
En utilisant les propriétés de conjugués, tu justifies que a‾−1b‾−1\frac{\overline a-1}{\overline b-1}b−1a−1 est le conjugué de a−1b−1\frac{a-1}{b-1}b−1a−1
f(a)=f(b)↔a−1b−1=(a−1b−1)‾f(a)=f(b) \leftrightarrow \frac{a-1}{b-1}=\overline{(\frac{a-1}{b-1})}f(a)=f(b)↔b−1a−1=(b−1a−1)
Tu dois savoir quez=z‾↔z∈rz=\overline z \leftrightarrow z \in rz=z↔z∈r
Donc :
f(a)=f(b)↔a−1b−1∈rf(a)=f(b) \leftrightarrow \frac{a-1}{b-1} \in rf(a)=f(b)↔b−1a−1∈r
Conséquence :
a−1b−1∈r↔arg(a−1b−1)=0+kπ avec k∈z\frac{a-1}{b-1} \in r \leftrightarrow arg(\frac{a-1}{b-1})=0+k\pi\ avec\ k \in zb−1a−1∈r↔arg(b−1a−1)=0+kπ avec k∈z
En faisant l'interprétation des arguments, tu dois trouver A, B, I alignés.
Regarde tout ça de près et approfondis la fin.
Bon travail.
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Ffirstchil974 dernière édition par
Bonjour mtschoonn,
Merci beaucoup pour votre réponse et votre aide !
Pour la question 1, je retrouve donc D=z∈mathbbCmathbb{C}mathbbC et z≠1.
J'ai compris le raisonnement mais je ne comprends pas cette équivalence :
(a-1)/(b-1)=(1-a barre)/(1-b barre) ⇔ (a-1)/(b-1) = (a barre -1)/(b barre -1).
J'ai réussi à montré à l'aide des propriétés des arguments que les points A,B et I sont alignés.J'ai donc réessayé pour les questions 5 et 6 mais sans grand succès...
Merci encore pour votre aide !
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mtschoon dernière édition par
Tu peux dire clairement que Df= C - {1}
Pour le passage que tu ne comprends pas, je détaille l'idée :
Avec des dénominateurs non nuls :
A/B = C/D<=> A x D = B x C <=> A/C = B/D
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Ffirstchil974 dernière édition par
Oui je comprends ce passage mais c'est juste ça que je ne comprends pas :
(1-a barre)/(1-b barre) ⇔ (a barre -1)/(b barre - 1).
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mtschoon dernière édition par
Tu changes les signes du numérateur et dénominateur (ou si tu préfères, tu multiplies le numérateur et le dénominateur par (-1)), ce qui ne change pas le quotient.
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Ffirstchil974 dernière édition par
Ah d'accord mais on ne doit pas multiplier par (-1) de l'autre côté de l'égalité aussi ?
Pour le 5.a) j'ai trouvé ça:
(eiα(e^{iα}(eiα - 1)/(1−e−iα1)/(1-e^{-iα}1)/(1−e−iα)= (eiα(e^{iα}(eiα $-1)*(e^{iα$}/(eiα/(e^{iα}/(eiα-1))= ((e2iα((e^{2iα}((e2iα - $e^{iα$})∗e−iα)*e^{-iα})∗e−iα)/-1= 1−eiα1-e^{iα}1−eiα.
Pensez vous que c'est correcte ?
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mtschoon dernière édition par
Non !
réfléchis que :−a−b=ab: \frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}:−b−a=ba
Pour la 5)a), ton calcul est faux
Piste,
$f(e^{i\alpha})=\frac{e^{i\alpha}-1}{1-e^{-i\alpha}}=\frac{e^{i\frac{\alpha}{2}}(.......)}{{e^{-i\frac{\alpha}{2}}(.......)}$
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mtschoon dernière édition par
Un complément éventuel.
Après factorisation et simplification, tu trouves :
f(eiα)=eiα2e−iα2=eiα2.eiα2=eiαf(e^{i\alpha})=\frac{e^{i\frac{\alpha}{2}}}{e^{-i\frac{\alpha}{2}}}=e^{i\frac{\alpha}{2}}.e^{i\frac{\alpha}{2}}=e^{i\alpha}f(eiα)=e−i2αei2α=ei2α.ei2α=eiα
Autre méthode, plus simple
Tu factorises directement le numérateur par eiαe^{i\alpha}eiα
f(eiα)=eiα(1−e−iα)1−e−iα=eiαf(e^{i\alpha})=\frac{e^{i\alpha}(1-e^{-i\alpha})}{1-e^{-i\alpha}}=e^{i\alpha}f(eiα)=1−e−iαeiα(1−e−iα)=eiα
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Ffirstchil974 dernière édition par
Ah d'accord !
Pour la 5.a) j'ai refait le calcul en factorisant et j'ai réussi à obtenir eiαe^{iα}eiα.
Merci beaucoup pour votre aide mtschoon !
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mtschoon dernière édition par
De rien.
Et la fin, tu l'as laissée ?
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Ffirstchil974 dernière édition par
Pour la 5.b)ii) j'ai essayé de résoudre l'équation donné en 5.b)i), j'ai essayé d'appliquer la fonction ln mais ça ne donnait pas de résultat concluant. J'ai donc essayé en posant z=x+iy mais sans grand succès non plus... J'ai eu l'idée ensuite d'utiliser les modules mais je n'arrive pas à conclure non plus..
Pour la question 6, je ne comprends pas la question.
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mtschoon dernière édition par
Quelques pistes, éventuellement.
Pour la 5)b)i)
z−1=(1−z‾)eiαz-1=(1-\overline z)e^{i\alpha}z−1=(1−z)eiα
Il te suffit ensuite de multiplier chaque membre par $e^{-i\frac{\alpha}{2}$, puis transformer un peu le membre de droite, pour obtenir l'égalité demandée.
Pour la 5)b)ii)
Tu peux transformer la formule de la 5)b)i) en faisant apparaître un conjugué
Elle peut s'écrire :
e−iα2(z−1)=−(e−iα2(z−1)‾)e^{-i\frac{\alpha}{2}}(z-1)=-(\overline{e^{-i\frac{\alpha}{2}}(z-1)})e−i2α(z−1)=−(e−i2α(z−1))
Egalité du type : z=−z‾z=-\overline zz=−z , qui traduit que Z est un imaginaire pur, c'est à dire que sa partie réelle est nulle.
En posant z=x+iy et en écrivant que re(e−iα2(z−1))=0re(e^{-i\frac{\alpha}{2}}(z-1))=0re(e−i2α(z−1))=0 , tu dois obtenir l'équation de la droite (IM) avec I point d'affixe 1 et M point d'affixeeiαe^{i\alpha}eiα
La 6) est la conséquence de tout ce qui vient t'être fait.
A la question 2)b), on pouvait dire seulement que Im(f) ⊂ U mais maintenant on peut justifier (en expliquant) que Im(f) = UBon courage, si tu te lances dans la fin de ton exercice.