Bonjour mtschoon,

pour la question 1 j'avais mal écrit ma réponse ! Je trouve également -$\frac{2}{3}$u+$\frac{1}{3}$+w=0

D'accord, merci.

Euh oui, je me suis trompé.

Merci mtschoon pour vos explications ! Bonne journée.

Bonjour mtschoon,
J'ai refait mes calculs pour la 1 est j'ai retrouvé w=(-2/3)u+(1/3)v

J'avais commencé à résoudre ce système et j'avais aussi trouvé que δ=0 mais je ne savais pas si ça suffisait à montré que a était une base de F∩G.
J'ai donc fait la suite en supposant que dim(F∩G)=1. Pour la question 4 j'avais trouvé dimF+G=3 et que sa base est B=(u,v,a).

Pour la question 5, j'ai montré que la famille (u,v,b,$e_1$) était une famille libre (avec $e_1$=(1,0,0,0). On en déduit que c'est une base de $$mathbb{R}$^4$ et que $Vect(e_1$) est un supplémentaire de F+G dans $$mathbb{R}$^4$.

et pour la question 6, j'ai trouvé les coordonnées suivantes :
α$=$\frac{1}{5}$u+$\frac{1}{5}$b+$\frac{3}{5}$e_1$.

Merci beaucoup mtschoon pour votre aide !

Bonjour à tous !
J'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice concernant les espaces vectoriels. Voici le sujet:

Dans l'espace vectoriel $$mathbb{R}$^4$, on considère les vecteurs:
u=(1,3,2,1), v=(-4,3,7,-1), w=(2,1,-1,1)
et F=Vect(u,v,w) le sous-espace vectoriel de $$mathbb{R}$^4$ engendré par u,v et w. On considère de plus: G={(-2x+y, -x+2y,x+3y,-x+4y)∈$$mathbb{R}$${}^4$}_{(x,y)∈$mathbbR$2}$.

1- Déterminer une base et la dimension de F.
2- Demontrer que G est un sous-espace vectoriel de $$mathbb{R}$^4$, dont on déterminera une base et la dimension.
3- Déterminer une base et la dimension de F∩G. A-t-on F+G ? (ici le "+" désigne une somme directe)
4- Déterminer une base et la dimension de F+G. (ici le "+" ne désigne pas une somme directe)
5- compléter la base obtenue de F+G en une base de $$mathbb{R}$^4$.End\acute{e}duireunsuppl\acute{e}mentairedeF+Gdans$$mathbbR$^4$.
6- Quelles sont les coordonnées de α=(1,1,1,1) dans cette base ?

Pour la première question, j'ai montrer que:
λ${}_1$u+λ${}_2$v+λ${}_3$w=0
⇔ λ${}_2$= $\frac{3}{5}$λ${}_3$
λ${}_1$=$\frac{-2}{5}$λ${}_3$
Donc u,v et w sont liées donc la dimension de F est 2 et une base de F est $B_F$=(u,v)

Pour la deuxième question, j'ai montré que:
G=Vect((-2,-1,1,-1);(1,2,3,4))=Vect(a,b)
Comme a et b ne sont pas colinéaires, alors dim(G)=2 et une base de G est : $B_G$=(a,b).

Pour la question trois, je ne suis pas sur que j'ai le bon raisonnement.
J'ai montré que la famille (u,v,a,b) était une famille libre et on en déduit que dim(F∩G)=4 et qu'une base est $B_{F\cap G}$=(u,v,a,b).

J'ai ensuite dit que la somme F+G n'est pas directe car F∩G contient une base, donc leur intersection est non vide. Donc F∩G≠{0} ⇒ F+G n'est pas une somme directe.

Mais je ne pense pas que ça soit le bon raisonnement pour la dimension et la base de F∩G car pour la question 4, il y a une contradiction.

Pour la question 4, j'ai déterminer la dimension de F+G à l'aide de la formule de Grassmann:
dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F∩G) ⇔ dim(F+G)= 2+2-4=0.
Je ne pense pas que ça soit possible. Et je ne sais pas comment déterminer cette base.

Pour la question 5 et 6, je n'ai pas pu les faire n'ayant pas la base de F+G.

Je vous remercie d'avance pour votre aide et je vous souhaite une bonne journée !

Bonjour Noemi,

Pour la 2-c) J'ai posé g(x)=f(x)-π/2
J'ai alors calculé g(-x) et j'ai trouvé: g(-x)=Arccos(-sin(x)/$sqrt$(1+cos(x)^2)))-π/2
Je ne sais pas si je peux écrire que g(-x)=-f(x)-π/2 et donc que g est impaire et que Cf admet pour centre de symétrie le point S(0;π/2).

Pour la d)
je n'avais pas précisé en écrivant ma réponse mais j'avais écrit que:
f est 2π-périodique donc on a l'intervalle [-π;π]
f admet un axe de symétrie en π/2 donc on a l'intervalle [-π/2;π/2]
et f admet un centre de symétrie en S donc on a l'intervalle [0;π/2]

Pour la 4-b)
J'ai calculé la limite de f'(x) lorsque x tend vers π/2 par valeur inférieur à π/2 et je trouve
a=-3$sqrt$2)/2
J'ai donc l'équation: y=a(x-π/2)+f(π/2)⇒y=-3$sqrt$2)/2x + 3$sqrt$2)π/4.
Je pense qu'il y doit y avoir une erreur dans ma dérivée c'est pourquoi je trouve une équation non pertinente.

Bonsoir tout le monde !
J'aurai besoin de conseils pour un exercice concernant l'étude d'une fonction avec la fonction Arccosinus. Voici le sujet:

On considère la fonction f:x→Arccos( sin(x)/ $$sqrt$(1+cos(x)^2$))
1- Déterminer son domaine de définition et de continuité.
2-a) montrer que f est 2π-périodique.
b) montrer que la droite (d) d'équation x=π/2 est un axe de symétrie de Cf
c) montrer que le point S(0;π/2) est un centre de symétrie de Cf
d) en déduire qu'on peut réduire l'étude de f sur I=[0;π/2]
3- a) Déterminer le domaine de dérivabilité de f.
b)Calculer f'(x) et donner le tableau de variations de f sur I.
4- a) Déterminer une équation de la tangente de Cf en S
b) Démontrer que Cf admet une demi tangente en π/2 et déterminer une équation de cette demi tangente.

Voici mes idées et réponses:

1- Je sais que $sin(x)/$sqrt$(1+cos(x{)}^2$)) doit être compris entre [-1;1]. Or sin(x) et cos(x) est compris ∀x∈$mathbbR$ entre [-1;1]. Donc Df=$mathbbR$.
2- a) Comme sinus, cosinus et Arccosinus sont des fonctions 2π-périodiques alors f l'est aussi comme composée de fonctions sinus, cosinus et Arccosinus.
b) J'ai calculé f(π/2 -x) et f(π/2 +x) et j'obtiens que f(π/2 -x)= f(π/2 +x) donc que Cf admet un axe de symétrie en x=π/2. Je ne suis pas sure de cette réponse.
c) J'ai calculé f(0) et f(0)=π/2 donc le point S(0;π/2) et un centre de symétrie de Cf. Je pense qu'il manque des éléments.
d) Comme f est 2π-périodique, qu'elle a pour axe de symétrie x=π/2 et pour centre de symétrie en S(0;π/2) alors on peut se réduire sur l'intervalle I=[0:π/2].
3- a) On sait que Arccos est dérivable sur ]-1;1[ et sin(x)/ $$sqrt$(1+cos(x)^2$)estd\acute{e}rivablesur$mathbb{R}$. Donc f est dérivable sur ]-1;1[. Je ne suis pas sure de ce raisonnement.
b) Après de longs calculs je trouve:
f'(x)= $-(1+cos(x{)}^2$ $+2sin(x)$^2$)/$sqrt$(2+2cos(x{)}^2$)
D'où f est strictement décroissante sur I et f(0)=π/2 et f(π/2)=0.
4- a) J'ai l'équation y=-x+π/2
b) Je ne sais pas du tout comment faire.

Je vous remercie d'avance pour votre aide et vous souhaite une bonne soirée !

Pour la 5.b)ii) j'ai essayé de résoudre l'équation donné en 5.b)i), j'ai essayé d'appliquer la fonction ln mais ça ne donnait pas de résultat concluant. J'ai donc essayé en posant z=x+iy mais sans grand succès non plus... J'ai eu l'idée ensuite d'utiliser les modules mais je n'arrive pas à conclure non plus..
Pour la question 6, je ne comprends pas la question.

Ah d'accord !

Pour la 5.a) j'ai refait le calcul en factorisant et j'ai réussi à obtenir $e^{i\alpha }$.

Merci beaucoup pour votre aide mtschoon !

Ah d'accord mais on ne doit pas multiplier par (-1) de l'autre côté de l'égalité aussi ?

Pour le 5.a) j'ai trouvé ça:

$(e^{i\alpha }$ - $1)/(1-e^{-i\alpha }$)= $(e^{i\alpha }$ $-1)*(e^{iα$}$/(e^{i\alpha }$-1))= $((e^{2i\alpha }$ - $e^{iα$}$)\ast e^{-i\alpha }$)/-1= $1-e^{i\alpha }$.
Pensez vous que c'est correcte ?

Oui je comprends ce passage mais c'est juste ça que je ne comprends pas :
(1-a barre)/(1-b barre) ⇔ (a barre -1)/(b barre - 1).

Bonjour mtschoonn,

Merci beaucoup pour votre réponse et votre aide !
Pour la question 1, je retrouve donc D=z∈$mathbbC$ et z≠1.
J'ai compris le raisonnement mais je ne comprends pas cette équivalence :
(a-1)/(b-1)=(1-a barre)/(1-b barre) ⇔ (a-1)/(b-1) = (a barre -1)/(b barre -1).
J'ai réussi à montré à l'aide des propriétés des arguments que les points A,B et I sont alignés.

J'ai donc réessayé pour les questions 5 et 6 mais sans grand succès...

Merci encore pour votre aide !