équation algébrique d'ordre 4 dans C

bonjour à tous,

Dans le QCM j'ai deux questions que je ne comprends absolument pas.

l'énoncé du 1er est:
Sachant que x0= 2+3j est une racine, quelles sont les autres racines de 2X^4 - 7X^3 + 23X^2 + 9X +13?

tout ce que je sais c'est que c'est une équation algébrique d'ordre 3.
Le prof n'a pas fait de cours dessus c'était la fin de l'heure.

merci pour votre aide.

Bonjour,

Essaie de dire le chapitre ( ou paragraphe ) que ton professeur traite en ce moment.
Cela nous permettra de savoir un peu comment tu dois chercher cet exercice.

Bonjour MTSCHOON,
depuis notre changement de professeur nous n'avons plus aucun support, juste un exemple au tableau sauf pour ce type d'exercice ou il n'a pas eu le temps.
mais nous avons vu précédemment celle d'ordre 2.

En réalité, le degré de ce que tu proposes n'est pas du troisième degré mais du**quatrième (**à cause de $2x^4$ )

Je t'indique ce que tu peux faire, mais sans cours explicatif, je ne suis pas sûre que tu comprennes ...

Ce exercice demande de la maîtrise...

2+3j est une racine de l'équation
$2x^4-7x^3+23x^2+9x+13=0$

En utilisant les propriétés desconjugués (en supposant que tu les connaisses), tu peux justifier que2-3j est aussi solution de cette équation
On peut donc mettre $(x - (2 + 3 j)) (x - (2 - 3 j))$ en facteur

En développant (et en simplifiant):

$x-(2+3j))(x-(2-3j))=x^2-4x+13$

En faisant la division euclidienne de $2x^4-7x^3+23x^2+9x+13$ par $x^2-4x+13)$ , on trouve, sauf erreur : $2x^2+x+1$

Donc l'équation proposée peut s'écrire :

$\fbox{(x-(2+3j))(x-(2-3j))(2x^2+x+1)=0}$

En résolvant l'équation du second degré $2x^2+x+1=0$ , on trouve pour solutions :
$x1=−14+74jx_1=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt 7}{4}j$
$x2=−14−74jx_2=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt 7}{4}j$

CONCLUSION :
Les racines de l'équation $2x^4-7x^3+23x^2+9x+13=0$ sont:
$\text{\fbox{2+3j , 2-3j , -\frac{1}{4}-\frac{\sqrt 7}{4}j , -\frac{1}{4}+\frac{\sqrt 7}{4}j}$

merci beaucoup,

si je comprends bien X1= 2-3j; X2=-1/4 -j√7/4 et x3= -1/4+j√7/4

(je viens de rectifier une faute de frappe ; merci de me l'avoir signalée)*

Les trois solutions (autres que 2+3j) sont bien les solutions que tu donnes.

Comme je te l'ai indiqué, cet exercice demande des connaissances et de la technique. Il faudrait que ton professeur l'explique.

Merci MTSCHOON,

Malheureusement je ne pense pas pas qu'on aura une explication car notre prochain cours est le cours de révision pour le DS de plus la barrière de la langue n'aide pas.

Je vais essayer de faire l'autre exercice avec votre modèle si cela ne vous gène pas je vous le ferez voir.

Je te conseille de commencer par refaire seul(e) tous les calculs de celui-ci.

Je t'ai indiqué l'essentiel des résultats intermédiaires utiles mais je n'ai pas explicité les calculs !