Suites récurrence bornée exercice de base.

Bonjour
j'ai cet exercice à faire mais je n'y arrive pas :

(Un) est la suit definie par U0=0 et, pour tout entier naturel n Un+1= (4Un+3)/(Un+2)

Démonter par récurrence que, pour tout entier naturel n , 0≤Un≤3

Je dispose dispose d'une aide : dresser le tableau de variation de la fonction f de sur [0;3] par f(x)=(4x+3)/(x+2)

Je trouve f'(x)= 5/(x+2)²
D’où f(x) croissance strictement sur l'intervalle proposé.
Mais après je ne voyais pas comment continuer alors j'ai fait
Initialisation :
U1=4/3 Donc 0≤4/3≤3
Donc P1 est vraie.
Hérédité :
Supposons Pn vraie pour un certain n. Pour ce n on alors, 0≤Un≤3
D'après l’hypothèse de récurrence
0≤Un≤3
2≤Un+2≤5
1/2≥1/Un+2≥1/5
Cependant je ne vois pas non plus comment rajouter de numérateur..
Merci pour votre aide

Bonsoir,

Pour l'hérédité, utilise les variations de f : l'énoncé te le demande pour ça !

0 ≤ $U_n$ ≤ 3

f croissante sur [0,3] donc f(0) ≤ $f(U_n$ ) ≤ f(3)

c'est à dire f(0) ≤ $U_{n+1}$ ≤ f(3)

Tu calcules f(0), f(3) et tu dois tirer la conclusion :

0 ≤ $U_{n+1}$ ≤ 3

Ah oui je n'avais pas vu le rapport avec la croissance de la fonction

Merci beaucoup Mtschoon !
Bonne soirée

De rien !

Bonne soirée à toi.