3. Résoudre des équations avec nombres complexes

Résoudre des équations avec nombres complexes

  • J

    Bonjour, alors voila je rencontre des difficultés concernant un exercice sur les suites:

    soit f(z)=(iz-1)/(z-i)

    a)calculer f(0)
    -> f(0)= -1/-i= -i

    b) résoudre l'équation f(x)=0
    -> f(x)=0↔iz−1z−i=0  ↔iz−1=0  ↔z=1/i  ↔z=−if(x)=0 \leftrightarrow \frac{iz-1}{z-i} =0 \ \ \leftrightarrow iz-1=0 \ \ \leftrightarrow z=1/i \ \ \leftrightarrow z=-if(x)=0↔z−iiz−1​=0  ↔iz−1=0  ↔z=1/i  ↔z=−i

    c)existe-t-il des nombres complexes qui ont pour image 1 par la fonctionf?
    -> je ne sais pas du tout comment faire

    d) en posant z=x+iy, exprimer f(z) sous forme algebrique
    -> j'ai trouvé f(z)=−2xy(−2+y)+x2+1+i(x2+y2−1)y(−2+y)+x2+1f(z)=\frac{-2x}{y(-2+y)+x^{2}+1}+\frac{i(x^{2+y^{2}-1)}}{y(-2+y)+x^{2}+1}f(z)=y(−2+y)+x2+1−2x​+y(−2+y)+x2+1i(x2+y2−1)​

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonsoir,

    a) OUI

    b) OUI ( je suppose que tu as voulu écrire f(z) )

    c) tu résous f(z)=1

    c) OUI mais les dénominateurs sont écrits bizarrement

    Il devraient être écrits (y−1)2+x2(y-1)^2+x^2(y−1)2+x2, mais ils sont exacts.

    J 1 réponse
  • J

    merci de m'avoir répondu...

    donc pour la c) je trouve f(z)=1  ↔iz−1z−i=1  ↔iz−1=z−i  ↔iz+i=z+1  ↔i(z+1)=z+1  ↔i=z+1z+1  ↔i=1f(z)=1 \ \ \leftrightarrow \frac{iz-1}{z-i}=1 \ \ \leftrightarrow iz-1=z-i \ \ \leftrightarrow iz+i=z+1 \ \ \leftrightarrow i(z+1)=z+1 \ \ \leftrightarrow i=\frac{z+1}{z+1} \ \ \leftrightarrow i=1f(z)=1  ↔z−iiz−1​=1  ↔iz−1=z−i  ↔iz+i=z+1  ↔i(z+1)=z+1  ↔i=z+1z+1​  ↔i=1

    Par ailleurs on me demande de déterminer l'ensemble des nombres z tels que f(z) soit un imaginaire pure:
    Donc j'ai fait f(z) imaginaire⇔Re(z)=0

    ↔−2x(y−1)2+x2=0  ↔−2x=0  ↔x=0\leftrightarrow \frac{-2x}{(y-1)^{2}+x^{2}}=0 \ \ \leftrightarrow -2x=0 \ \ \leftrightarrow x=0↔(y−1)2+x2−2x​=0  ↔−2x=0  ↔x=0
    ?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Pour la c), tu ne réalises pas que ta réponsei=1 n'a aucun sens ?
    i serait le réel 1 ? ! ! !

    Tu reprends à partir de iz−1=z−iiz-1=z-iiz−1=z−i

    Tu mets les termes contenant z à gauche, les autres à droite

    Tu mets z en facteur et tu continues.

    J 1 réponse
  • J

    iz−1=z−i  ↔iz−z=1−i  ↔z(i−1)=1−i  ↔z=1−i−1+i  ↔z=(1−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)  ↔z=−1−11+1  ↔z=−1iz-1=z-i \ \ \leftrightarrow iz-z=1-i \ \ \leftrightarrow z(i-1)=1-i \ \ \leftrightarrow z=\frac{1-i}{-1+i} \ \ \leftrightarrow z=\frac{(1-i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} \ \ \leftrightarrow z=\frac{-1-1}{1+1} \ \ \leftrightarrow z=-1iz−1=z−i  ↔iz−z=1−i  ↔z(i−1)=1−i  ↔z=−1+i1−i​  ↔z=(−1+i)(−1−i)(1−i)(−1−i)​  ↔z=1+1−1−1​  ↔z=−1
    ?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    OUI, cette fois, c'est bon.

    f(z) imaginaire⇔Re(f(z))=0

    C'est bon ; il faut l'expliciter pour trouver l'ensemble demandé.

    J 1 réponse
  • J

    jdois donc résoudre z=iyz=iyz=iy ?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    re(f(z))=−2x(x2+(y−1)2re(f(z))=\frac{-2x}{(x^2+(y-1)^2}re(f(z))=(x2+(y−1)2−2x​

    re(f(z))=0↔−2xx2+(y−1)2=0re(f(z))=0 \leftrightarrow \frac{-2x}{x^2+(y-1)^2}=0re(f(z))=0↔x2+(y−1)2−2x​=0

    Condition (dénominateur non nul) :

    x≠0 et y≠1, c'est à dire**(x,y)≠(0,1), c'est à dire z≠i**

    Ensuite, idée à utiliser :

    Pour b ≠ 0 : ab=0↔b=0\frac{a}{b}=0 \leftrightarrow b=0ba​=0↔b=0

    J 1 réponse
  • J

    Re(z)=0 (avec z≠i)

    −2x(y−1)2+x2=0\frac{-2x}{(y-1)^{2}+x^{2}}=0(y−1)2+x2−2x​=0 (avec x≠0 et y≠1)

    ↔−2x=0  ↔x=0\leftrightarrow -2x=0 \ \ \leftrightarrow x=0↔−2x=0  ↔x=0

    Donc z=x+iy

    ⇔z=0+iy
    ⇔z=iy

    ?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Attention : c'est Re(f(z)).

    l'ensemble des nombres z tels que f(z) soit un imaginaire pure est l'ensemble de nombres complexes tels que Re(f(z))=0

    Vu les calculs faits, ce sont les complexes de la forme x+iy avec x=0 et (x,y)≠(0.1)

    Bilan :ce sont les nombres imaginaires purs, à l'exception du nombre i

    J 1 réponse
  • J

    vraiment je ne vois pas comment faire...

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Mais, de quoi parles-tu ?

    Tu as écrit :
    Citation
    déterminer l'ensemble des nombres z tels que f(z) soit un imaginaire pur
    Les calculs de Re(f(z)) sont faits, la résolution de Re(f(z))=0 aussi et la réponse aussi (Je viens de te la donner).

    Que cherches-tu d'autre ? ? ?

    J 1 réponse
  • J

    dacc c'est parce que dans la question suivante on me demande de trouver la réponse à cette question en utilisant le conjugué de f(z) et je n'arrive pas à faire un lien avec celle-ci, je trouve:

    f(zˉ)=izˉ−1zˉ−i=i(x−iy)−1(x−iy)−i=ix+y−1x−iy−if(\bar{z})=\frac{i\bar{z}-1}{\bar{z}-i}=\frac{i(x-iy)-1}{(x-iy)-i}=\frac{ix+y-1}{x-iy-i}f(zˉ)=zˉ−iizˉ−1​=(x−iy)−ii(x−iy)−1​=x−iy−iix+y−1​

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Pour la méthode avec les conjugués, regarde ton cours pour la propriété à utiliser :

    Z imaginaire pur <=>z=−z‾z=-\overline zz=−z

    Ici :

    f(z) imaginaire pur <=>$\fbox{ f(z)=-\ \overline{f(z)}}$

    Il faut que tu commences à exprimer$\overline{f(z)$

    Tu as fait une erreur car tu as exprimé f(z‾)f(\overline z)f(z) et non f(z)‾\overline{f(z)}f(z)​

    J 1 réponse
  • J

    donc sa donne:
    f(z)ˉ=zi−1ˉz−iˉ=−i(x−iy)−1x−iy+i=ix−y−1x−iy+i\bar{f(z)}=\frac{\bar{zi-1}}{\bar{z-i}}=\frac{-i(x-iy)-1}{x-iy+i}=\frac{ix-y-1}{x-iy+i}f(z)ˉ​=z−iˉ​zi−1ˉ​​=x−iy+i−i(x−iy)−1​=x−iy+iix−y−1​

    après je suis bloqué..

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Tu n'as pas bien compris la démarche de cette seconde méthode.

    Reste en z

    Pour z≠i

    f(z)=−f(z)‾↔iz−1z−i=− (iz−1z−i)‾f(z)=-\overline{f(z)} \leftrightarrow \frac{iz-1}{z-i}=-\ \overline{(\frac{iz-1}{z-i})}f(z)=−f(z)​↔z−iiz−1​=− (z−iiz−1​)​

    A la fin de tes transformations , tu devrais trouver z=−z‾z=-\overline zz=−z, ce qui équivaut à dire quez est imaginaire pur

    Tu retrouves ainsi, évidemment, la même réponse qu'avec la première méthode.

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