Dérivation et limites

Bonjour à tous, je rencontre quelques problèmes dans un exercice de Mathématiques, ainsi je nécessiterai votre aide.
Voici le sujet: Soit g la fonction déinie sur [0;+infini[ vérifiant g(x)=f(x)-xf(x)+1
f est une fonction strictement positive sur [0;+infini[ vérifiant f(x)=f'(x), f(0)=1 et lim de x allant à +infini de f(x)=+infini

1)Déterminer la limite de g en +infini
Je bloque totalement sur cette question, merci d'avance.

Bonsoir,

Tu as écrit :g(x)=f(x)-xf(x)+1

Si c'est bien ça , tu factorises

g(x)=f(x)(1-x)+1

Lorsque x tend vers +∞, f(x) tend vers +∞, (1-x) tend vers -∞, donc le produit f(x)(1-x) tend vers -∞, donc............

Ah d'accord, merci je comprends. Ensuite, on me demande d'étudier les variations de la fonction g. J'ai donc tenté de chercher la dérivée de g:
g'(x)=-f'(x)=-f(x), qu'en dites-vous ?

Merci d'avance.

Si tu as besoin d'une vérification sur g'(x), détaille le calcul que tu as fait.

En dérivant g, sauf erreur, tu aurais dû trouver -xf'(x)

Les détails: g(x)=f(x)-xf(x)+1=f(x)(1-x)+1
Ainsi g'(x)=f'(x)(-1)=-f'(x)
D'après l'énoncé f'(x)=f(x) donc g'(x)=-f'(x)=-f(x)

Qu'en dites-vous ?
Merci d'avance.

Ce que tu dis est très bizarre...tu as une curieuse façon de calculer la dérivée d'un produit...

$\text{g(x)=f(x)(1-x)+1$

$\text{g'(x)=f'(x)(1-x)+f(x)(1-x)'+0=f'(x)(1-x)+f(x)(-1)$

Vu que f(x)=f'(x), on peut écrire :

$\text{g'(x)=f'(x)(1-x)+f'(x)(-1)=f'(x)-xf'(x)-f'(x)$

Après simplification :

$\text{g'(x)=-xf'(x)$

Ah d'accord, merci !
J'aurai une dernière question à vous demander:
On me demande de donner le tableau de variations de g:
D'après l'énoncé f est strictement positive sur [0;+infini[ donc g'(x) est strictement négative sur le même intervalle car g'(x)=-xf'(x)=-xf(x) donc g(x) est strictement décroissante sur [0;+infini[ avec g(0)=0 et lim quand x tend vers +infni =-infini.

Ensuite, on me demande de démontrer que l'équation g(x)=0 admet une seule solution a sur [0;+infini[, j'utilise le Théorème des VI
Et là, il faut que j'explique comment déterminer une valeur approchée de a à 1 près, quelles piste suivre?
Merci d'avance.

Fait attention à x=0

g'(0)=0 ; g'(x) < 0 pour x > 0

Le reste me semble bon.

D'accord pour le TVI

On me demande d'expliquer comment déterminer une valeur approchée de a à 1 près. Je pense qu'il doit y avoir une erreur dans la dérivée effectuée car sinon il n'y aurait pas cette question, qu'en pensez-vous ?
Merci.

J'ai trouvé la gaffe que j'avais laissé passer...

g'0)=0 mais g(0) ne vaut pas 0

g(0) = f(0)-0f(0)+1 = 1-0+1 = 2

Ah d'accord, merci beaucoup !
Pourriez-vous me donner la technique pour expliquer comment déterminer une valeur approchée de a à 1 près ?

Si j'ai compris, a est la solution unique de g(x)=0 sur [0,+∞[

Pour trouver un encadrement de a à 1, lorsque rien de plus est indiqué, on utilise la calculette.

Pour cela , il faut connaître l'expression algébrique de g(x), qui n'est pas donnée dans ton énoncé...

Je ne vois pas d'autre méthode que de la chercher.

J'espère que tu as vu la définition de la fonction exponentielle (fonction égale à sa dérivée et qui s'annule pour x=1)

Donc :

$f(x)=e^x$

$g(x)=e^x(1-x)+1$

Tu peux utiliser la calculette avec la fonction Table, par exemple.

g(1)=1
g(2) =-6,289...

Donc :

g(2) < g(a) < g(1)

Vu que g est strictement décroissante :

1 < a < 2

Ce qui est bizarre, c'est que je n'ai pas vu la fonction exponentielle en cours encore ! Je vais donc l'étudier afin de réussir la question. En tout cas, merci infiniment pour votre aide, bonne soirée.

Si besoin, je te mets un lien :

http://www.educastream.com/fonction-exponentielle-terminale-s

Il y aussi une vidéo ici :

http://www.educastream.com/fonction-exponentielle-terminale-s

Bon travail.

Si tu n'as pas encore vu la fonction exponentielle en cours, peut-être que ton professeur veut l'introduire à partir de cet exercice...qui sait...ce serait pertinent...

Je te soumets une autre idée pour répondre à ta dernière question sans se servir de la fonction exponentielle, mais cela est imprécis...

Utiliser la définition de fonction dérivée

Par définition :

$f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Tu sais que f(0)=1 et que f'(x)=f(x) donc f'(0)=1

Donc : $lim⁡x→0f(x)−1x−0=1\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x-0}=1$

Pourx voisin de 0:

$f(x)−1x∼1\frac{f(x)-1}{x}\sim 1$

$\sim x$

$f(x)∼x+1f(x)\sim x+1$

$g(x)∼(x+1)(1−x)+1g(x)\sim (x+1)(1-x)+1$

$g(x)∼2−x2g(x)\sim 2-x^2$

Evidemment, plus on s'éloigne de 0, moins c'est juste...

(c'est cela qui est génant...)

Si tu utilises cette expression et si tu tu calcules à la calculette (avec Table et un pas de 0.1)

......
g(0.9) ≈ 1.19
g(1) ≈ 1
......

g(1.4) ≈ 0.04
g(1.5) ≈ -0.25
......

Tu peux envisager de proposer 1 < a < 2

Bonsoir, oui je comprends, merci beaucoup.

De rien !

*Pour la fin, tu peux éventuellement mettre les deux versions : celle avec la fonction exponentielle, basée sur tes recherches personnelles , et l'autre sans *...à toi de voir !