Ensemble R-Bornes


  • A

    Bonsoir,

    voici l'énoncé de l'exercice et ce que j'ai pu faire :

    C= { a+b : a ∈ A et b ∈ B}

    a) On suppose que A admet un maximum, montrer que sup(C) = max (A) + sup(B)

    ce que j'ai essayé de faire : max(A)+sup(B)<sup(C)

    b) Montrer que sup(C)=sup(A)+sup(B)

    Ce que j'ai essayé de faire : sup(A)+sup(B)<sup(C)

    Merci de bien vouloir m'aider


  • A

    Quelqu'un pour m'aider ?
    Merci


  • N
    Modérateurs

    Bonjour am9511,

    pour a) a ≤ max(A) et b ≤ sup(B)
    a+b ≤ ....
    donc
    ....
    pour b) a < sup(A) et b ≤ sup (B)
    ....


  • A

    pour a) a ≤ max(A) et b ≤ sup(B)
    a+b ≤ max(A)+sup(B)
    donc sup(C) = max (A) + sup(B)

    pour b) a < sup(A) et b ≤ sup (B)
    a+b≤ sup(A) + sup(B)
    donc sup(C)=sup(A)+sup(B)


  • mtschoon

    Je ne fais que passer...

    Attends la réponse de Noemi, vu qu'elle a commencé à te répondre.

    Je ne veux pas interférer.

    Une remarque en attendant :
    Avec ce qui a été fait, on peut conclure seulement que max (A) + sup(B) (pour la question a) et sup(A)+sup(B) (pour la question b) sont desmajorants de C


  • N
    Modérateurs

    Je n'ai indiqué qu'une piste pour le début de la démonstration.
    Il faut ensuite montrer que le majorant de C obtenu est le plus petit.


  • A

    ce que j'ai fait est correcte ?

    pour a) a ≤ max(A) et b ≤ sup(B)
    a+b ≤ max(A)+sup(B)
    donc sup(C) = max (A) + sup(B)

    pour b) a < sup(A) et b ≤ sup (B)
    a+b≤ sup(A) + sup(B)
    donc sup(C)=sup(A)+sup(B)


  • N
    Modérateurs

    La conclusion n'est pas correcte,
    tu as juste les majorants de C,
    Montre que ce majorant est le plus petit en considérant qu'il existe un majorant m tel que m ≥ a + b
    ...


  • mtschoon

    Bonjour et bonne semaine !

    Comme am9511 ne semble toujours pas comprendre, je détaille un peu la question a)

    Je suppose que dans cet énoncé, A et B sont deux parties bornées et non vides de R ( je ne l'ai pas vu écrit dans l'énoncé donné...)

    Comme indiqué par Noemi, max(A)+sup(B) est un majorant de C doncC est majoré.

    Soit M un majorant quelconque de C

    $\text{\forall (a,b)\in r^2 m\ge a+b$

    En particuler, pour a=Max(A)

    $\text{\forall b\in r m\ge max(a)+b$

    $\text{\forall b\in r m-max(a)\ge b$

    M-Max(A) est donc un majorant de B donc :

    $\text{m-max(a) \ge sup(b)$

    Donc

    $\text{m\ge max(a)+sup(b)$

    Max(A)+sup(B) est donc le plus petit majorant de C

    $\fbox{\text{max(a)+sup(b)=sup(c)}$

    CQFD

    J'ai fait ma B.A. du jour...


  • A

    Merci beaucoup 🙂


  • mtschoon

    De rien !

    Si tu as compris la démonstration pour le a), tu peux démontrer le b) avec le même type de raisonnement.


  • A

    D'accord


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