Ensemble R-Bornes

Bonsoir,

voici l'énoncé de l'exercice et ce que j'ai pu faire :

C= { a+b : a ∈ A et b ∈ B}

a) On suppose que A admet un maximum, montrer que sup(C) = max (A) + sup(B)

ce que j'ai essayé de faire : max(A)+sup(B)<sup(C)

b) Montrer que sup(C)=sup(A)+sup(B)

Ce que j'ai essayé de faire : sup(A)+sup(B)<sup(C)

Merci de bien vouloir m'aider

Quelqu'un pour m'aider ?
Merci

Bonjour am9511,

pour a) a ≤ max(A) et b ≤ sup(B)
a+b ≤ ....
donc
....
pour b) a < sup(A) et b ≤ sup (B)
....

pour a) a ≤ max(A) et b ≤ sup(B)
a+b ≤ max(A)+sup(B)
donc sup(C) = max (A) + sup(B)

pour b) a < sup(A) et b ≤ sup (B)
a+b≤ sup(A) + sup(B)
donc sup(C)=sup(A)+sup(B)

Je ne fais que passer...

Attends la réponse de Noemi, vu qu'elle a commencé à te répondre.

Je ne veux pas interférer.

Une remarque en attendant :
Avec ce qui a été fait, on peut conclure seulement que max (A) + sup(B) (pour la question a) et sup(A)+sup(B) (pour la question b) sont desmajorants de C

Je n'ai indiqué qu'une piste pour le début de la démonstration.
Il faut ensuite montrer que le majorant de C obtenu est le plus petit.

ce que j'ai fait est correcte ?

pour a) a ≤ max(A) et b ≤ sup(B)
a+b ≤ max(A)+sup(B)
donc sup(C) = max (A) + sup(B)

pour b) a < sup(A) et b ≤ sup (B)
a+b≤ sup(A) + sup(B)
donc sup(C)=sup(A)+sup(B)

La conclusion n'est pas correcte,
tu as juste les majorants de C,
Montre que ce majorant est le plus petit en considérant qu'il existe un majorant m tel que m ≥ a + b
...

Bonjour et bonne semaine !

Comme am9511 ne semble toujours pas comprendre, je détaille un peu la question a)

Je suppose que dans cet énoncé, A et B sont deux parties bornées et non vides de R ( je ne l'ai pas vu écrit dans l'énoncé donné...)

Comme indiqué par Noemi, max(A)+sup(B) est un majorant de C doncC est majoré.

Soit M un majorant quelconque de C

$\text{\forall (a,b)\in r^2 m\ge a+b$

En particuler, pour a=Max(A)

$\text{\forall b\in r m\ge max(a)+b$

$\text{\forall b\in r m-max(a)\ge b$

M-Max(A) est donc un majorant de B donc :

$\text{m-max(a) \ge sup(b)$

Donc

$\text{m\ge max(a)+sup(b)$

Max(A)+sup(B) est donc le plus petit majorant de C

$\fbox{\text{max(a)+sup(b)=sup(c)}$

CQFD

J'ai fait ma B.A. du jour...

Merci beaucoup

De rien !

Si tu as compris la démonstration pour le a), tu peux démontrer le b) avec le même type de raisonnement.

D'accord