Récurrence exponentielle et factorielle
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Llulu3925 dernière édition par
Bonjour,
J'ai quelques difficultés pour un DM et je sollicite votre aide, s'il vous plaît.
Voici les données de l'énoncé :fn(x)=ex−∑k=0nxkk!f_{n}(x)=e^{x}-\sum_{k=0}^{n}{\frac{x^{k}}{k!}}fn(x)=ex−∑k=0nk!xk pour x≥0etnϵnx\geq 0 et n\epsilon nx≥0etnϵn
Et je dois montrer que :
fn(x)≤xn+1(n+1)!exf_{n}(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x}fn(x)≤(n+1)!xn+1ex pour x≥0etnϵnx\geq 0 et n\epsilon nx≥0etnϵnJe pense qu'il faut faire une récurrence mais je n'arrive pas à montrer la phase d'initialisation pour n=0.
J'arrive uniquement à montrer que
f0(x)≤xexf_{0}(x)\leq xe^{x}f0(x)≤xex pour x≥1x\geq 1x≥1 (au lieu de x≥0x\geq 0x≥0)f0(x)=ex−1f_{0}(x)=e^{x}-1f0(x)=ex−1
ex−1≤exe^{x}-1\leq e^{x}ex−1≤ex
et on a pour x≥1x\geq 1x≥1 : ex≤xexe^{x}\leq xe^{x}ex≤xexEt ensuite, je n'arrive à démontrer que
fn+1(x)≤xn+2(n+2)!exf_{n+1}(x)\leq \frac{x^{n+2}}{(n+2)!}e^{x}fn+1(x)≤(n+2)!xn+2ex
en sachant que j'ai supposé qu'il existe un n tel que
fn(x)≤xn+1(n+1)!exf_{n}(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x}fn(x)≤(n+1)!xn+1exPourriez-vous m'aider à avancer un peu s'il vous plaît, en indiquant des pistes de recherche ?
merci d'avance à vous
Lulu
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Llulu3925 dernière édition par
Voici mon exercice plus en détail :
1° Démontrer que pour tout n≥1n\geq1n≥1 et pour tout x≥0x\geq0x≥0 , on a :
f′<em>n(x)=f</em>n−1(x)f'<em>{n}(x)=f</em>{n-1}(x)f′<em>n(x)=f</em>n−1(x)
J'ai pu faire cette question en dérivant la somme et en la réécrivant.2° En déduire que pour tout n∈nn \in nn∈n et pour tout x≥0x\geq0x≥0 , on a :
fn(x)≥0f_{n}(x)\geq0fn(x)≥0
J'ai réussi cette question, raisonnement par récurrence. J'ai utilisé le sens de variation de la fonction et son minimum.3° Démontrer que pour tout n∈nn \in nn∈n et pour tout x≥0x\geq0x≥0 , on a :
fn(x)≤xn+1(n+1)!×exf_{n}(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\times e^{x}fn(x)≤(n+1)!xn+1×exC'est pour cette question que j'ai des difficultés.
Pour le 1° rang, j'ai mené un raisonnement qui m'amène à :
f0(x)≤xexf_{0}(x)\leq xe^{x}f0(x)≤xex mais pour x≥1x\geq1x≥1 (non pas x≥0x\geq0x≥0 comme il le faudrait)Et pour la démonstration de la proposition au rang n, voici ce que j'ai fait :
je suppose vrai au rang n-1, c'est à dire :
fn−1(x)≤xnn!exf_{n-1}(x)\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}fn−1(x)≤n!xnex
⇔ex−∑k=0n−1xkn!≤xnn!exe^{x}-\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{x^{k}}{n!}}\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}ex−∑k=0n−1n!xk≤n!xnex
⇔ex−∑k=0n−1xkk!−xnn!≤xnn!ex−xnn!e^{x}-\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{x^{k}}{k!}}-\frac{x^{n}}{n!}\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}-\frac{x^{n}}{n!}ex−∑k=0n−1k!xk−n!xn≤n!xnex−n!xn
⇔fn(x)≤xnn!(ex−1)≤xnn!exf_{n}(x) \leq \frac{x^{n}}{n!}(e^{x}-1)\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}fn(x)≤n!xn(ex−1)≤n!xnex
et arriver là, je n'arrive pas à passer à
fn(x)≤xnn!(ex−1)≤xnn!ex≤xn+1(n+1)!exf_{n}(x) \leq \frac{x^{n}}{n!}(e^{x}-1)\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x} {\color{red} }fn(x)≤n!xn(ex−1)≤n!xnex≤(n+1)!xn+1ex
Il faudrait que xn+1\frac{x}{n+1}n+1x soit supérieur à 1 mais on sait pas le direPourriez-vous me guider un peu dans cette récurrence, s'il vous plaît ?
Merci
lulu
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Je regarde un peu tes calculs
Pour l'initialisation
f0(x)=ex−1f_0(x)=e^x-1f0(x)=ex−1
Il faut prouver que ex−1≤xexe^x-1 \le xe^xex−1≤xex pour x≥0x \ge 0x≥0
Une piste possible :
Tu poses g(x)=ex−1−xexg(x)=e^x-1-xe^xg(x)=ex−1−xex
Tu calcules g'(x) et tu en déduis les variations de g sur [0,+∞[
Tu dois en déduire que g(x)≤0g(x) \le 0g(x)≤0 d'où la réponse souhaitée.
Pour l'hérédité
Ce sera un peu plus "lourd", mais je pense (sans avoir vérifié) que tu peux terminer la résolution avec la même méthode.
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Llulu3925 dernière édition par
Merci beaucoup.
Pour l'initialisation, c'est exactement comme vous le dites.
Et pour l'hérédité, cette méthode marche aussi.
J'ai une fonction à étudier, et j'obtiens bien ce que je souhaite pour l'inégalité à montrer.Vraiment merci beaucoup pour votre aide.
Bonne soirée.
Bien cordialement
Lulu
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mtschoon dernière édition par
De rien .
Bonne nuit !