Etudier la dérivabilité et calculer la dérivée d'une fonction

Bonsoir,

je souhaite savoir la dérivée et étudier la dérivabilité de la fonction f au point 1:

Voici la fonction f :

f(x)= si x<1 (1-x)ln(1-x) / x-2

si x>1 $exp⁡(−1(x−1)2)\exp (-\frac{1}{(x-1)^2})$

pour la dérivée :

si x<2 f'(x)= 1/x /1
si x>1 f'(x)= je n'arrive pas je bloque sur le exp

pour la dérivabilité on sait que f est dérivable si f(x)-f(0)/x-0 existe

je me demande si il faut calculer la dérivée pour x<1 et x>1 ?

Merci

Bonsoir am9511,

Vérifie l'écriture de la fonction et le calcul pour x < 1
pour x > 1 f(x) forme $e^u$ soit la dérivée u' $e^u$

si x>1: je n'arrive pas du tout je connait la dérivée de exp donc si on applique bien la règle on a f'(x)=e^(-1/(x-1)^2)

Calcule la dérivée de -1/(x-1)²

-1/(x-1)² = 2x

Bonjour,

Noemi continuera de répondre, bien sûr. On ne va pas s'y mettre à deux !

*Seulement une remarque au sujet de l'énoncé écrit.

Je crois voir pour x < 1 f(x)=...... et pour x > 1 f(x)=......

Si la fonction n'est pas définie pour x=1, elle ne peut pas être dérivable pour x=1, donc le problème de dérivabilité pour x=1, comme demandé dans l'énoncé, ne se pose pas.

Bizarre cet énoncé.*

Exacte mtschoon,

Enoncé : on note f la fonction définie sur R et qui prolonge par continuité.

Calculer la dérivée de la fonction sur les intervalles ]-∞,1[ et [1,+∞[
Etudier la dérivabilité de fonction au point 1.

Oui, ça change tout !

Pour le calcul de la dérivée, le crochet à 1 me gène.
Ce devrait être, à mon avis, sur les intervalles ]-∞,1[ et ]1,+∞[

(Je te laisse avec Noemi pour la suite de ces calculs)

Pour x=1, il faut que tu calcul f(1) avec le prolongement par continuité.

Tu cherches $\lim_{x\to 1\x \lt 1}\frac{(1-x)ln(1-x)}{x-2}$ tu dois trouver 0

Tu cherches $\lim_{x\to 1\x \gt 1}e^{\frac{-1}{(x-1)^2}$ tu dois trouver 0

donc tu peux poser $f(1)=0\fbox{f(1)=0}$

Pour la dérivabilité en 1, tu auras deux limites à étudier :

$\lim_{x\to 1\x \lt 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

Tu obtiendras, s'il existe, le nombre dérivé à gauche en 1

$\lim_{x\to 1\x \gt 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

Tu obtiendras, s'il existe, le nombre dérivé à droite en 1

Tu en tireras la conclusion.

Je te laisse avec Noemi calculer les deux dérivées.

Bon travail.

Merci pour ton aide mtschoon

Comme je vois que Noemi n'est pas passée pour tes dérivées, je regarde.

CAS x < 1

Tu as écrit : "si x<2 f'(x)= 1/x /1"

Bizarre...il s'agit de x < 1 (faute de frappe sans doute, mais l'expression n'est pas bonne)

Reprenons.

Si j'ai bien lu, pour x < 1 , f(x)=[(1-x)ln(1-x)] / (x-2)

Tu poses U(x)=(1-x)ln(1-x)

Pour calculer U'(x), tu utilises la dérivée d'un produit

Après calcul et simplification, tu dois trouver

U'(x)=-ln(1-x)-1

Tu poses V(x)=x-2

donc V'(x)=1

f'(x)=[U'(x)V(x)-U(x)V'(x)] / [V(x)]²[/tex]

Après calcul et simplification, tu dois trouver

f'(x)=[ln(1-x)-(x-2)] / (x-2)²

Vois tout ça de près avant de passer au cas x > 1

PS / désolée pour l'écriture mais aujourd'hui, le LaTex ne fonctionne pas sur le forum.