Etudier la dérivabilité et calculer la dérivée d'une fonction


  • A

    Bonsoir,

    je souhaite savoir la dérivée et étudier la dérivabilité de la fonction f au point 1:

    Voici la fonction f :

    f(x)= si x<1 (1-x)ln(1-x) / x-2

    si x>1exp⁡(−1(x−1)2)\exp (-\frac{1}{(x-1)^2})exp((x1)21)

    pour la dérivée :

    si x<2 f'(x)= 1/x /1
    si x>1 f'(x)= je n'arrive pas je bloque sur le exp

    pour la dérivabilité on sait que f est dérivable si f(x)-f(0)/x-0 existe

    je me demande si il faut calculer la dérivée pour x<1 et x>1 ?

    Merci


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir am9511,

    Vérifie l'écriture de la fonction et le calcul pour x < 1
    pour x > 1 f(x) forme eue^ueu soit la dérivée u'eue^ueu


  • A

    si x>1: je n'arrive pas du tout je connait la dérivée de exp donc si on applique bien la règle on a f'(x)=e^(-1/(x-1)^2)


  • N
    Modérateurs

    Calcule la dérivée de -1/(x-1)²


  • A

    -1/(x-1)² = 2x


  • mtschoon

    Bonjour,

    Noemi continuera de répondre, bien sûr. On ne va pas s'y mettre à deux !

    *Seulement une remarque au sujet de l'énoncé écrit.

    Je crois voir pour x < 1 f(x)=...... et pour x > 1 f(x)=......

    Si la fonction n'est pas définie pour x=1, elle ne peut pas être dérivable pour x=1, donc le problème de dérivabilité pour x=1, comme demandé dans l'énoncé, ne se pose pas.

    Bizarre cet énoncé.*


  • A

    Exacte mtschoon,

    Enoncé : on note f la fonction définie sur R et qui prolonge par continuité.

    • Calculer la dérivée de la fonction sur les intervalles ]-∞,1[ et [1,+∞[
    • Etudier la dérivabilité de fonction au point 1.

  • mtschoon

    Oui, ça change tout !

    Pour le calcul de la dérivée, le crochet à 1 me gène.
    Ce devrait être, à mon avis, sur les intervalles ]-∞,1[ et ]1,+∞[

    (Je te laisse avec Noemi pour la suite de ces calculs)

    Pour x=1, il faut que tu calcul f(1) avec le prolongement par continuité.

    Tu cherches $\lim_{x\to 1\x \lt 1}\frac{(1-x)ln(1-x)}{x-2}$ tu dois trouver 0

    Tu cherches $\lim_{x\to 1\x \gt 1}e^{\frac{-1}{(x-1)^2}$ tu dois trouver 0

    donc tu peux poser f(1)=0\fbox{f(1)=0}f(1)=0

    Pour la dérivabilité en 1, tu auras deux limites à étudier :

    $\lim_{x\to 1\x \lt 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

    Tu obtiendras, s'il existe, le nombre dérivé à gauche en 1

    $\lim_{x\to 1\x \gt 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

    Tu obtiendras, s'il existe, le nombre dérivé à droite en 1

    Tu en tireras la conclusion.

    Je te laisse avec Noemi calculer les deux dérivées.

    Bon travail.


  • A

    Merci pour ton aide mtschoon


  • mtschoon

    Comme je vois que Noemi n'est pas passée pour tes dérivées, je regarde.

    CAS x < 1

    Tu as écrit : "si x<2 f'(x)= 1/x /1"

    Bizarre...il s'agit de x < 1 (faute de frappe sans doute, mais l'expression n'est pas bonne)

    Reprenons.

    Si j'ai bien lu, pour x < 1 , f(x)=[(1-x)ln(1-x)] / (x-2)

    Tu poses U(x)=(1-x)ln(1-x)

    Pour calculer U'(x), tu utilises la dérivée d'un produit

    Après calcul et simplification, tu dois trouver

    U'(x)=-ln(1-x)-1

    Tu poses V(x)=x-2

    donc V'(x)=1

    f'(x)=[U'(x)V(x)-U(x)V'(x)] / [V(x)]²[/tex]

    Après calcul et simplification, tu dois trouver

    f'(x)=[ln(1-x)-(x-2)] / (x-2)²

    Vois tout ça de près avant de passer au cas x > 1

    PS / désolée pour l'écriture mais aujourd'hui, le LaTex ne fonctionne pas sur le forum.


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