ensembles et applications

[king07]

salut tout le monde
je veux savoir comment résoudre ça
Pour la fonction f : R → R définie par x→x² représenter et calculer les ensembles suivants : f ([0,1[), f (R), f (]−1,2[), f −1([1,2[), f −1([−1,1]), f −1({3}), f −1(R\N).
est ce que c'est a partir du graphe ?
si oui ,est ce qu'il y a une autre méthode ?
(f −1)=la reciproque de f
et merci

[Noemi]

Bonsoir king07,

Il est demandé de représenter, donc il faut faire des représentations graphiques.

[mtschoon]

Bonjour,

Lorsque tu auras fait la représentation graphique de f sur R (parabole) et trouver les réponses (par lecture graphique), il faudra prouver les réponses par calculs.

Quelques pistes.

f(x)=x² donc f'(x)=2x

f dérivable donc continue sur R
f strictement croissante sur $R^{+}$ et strictement décroissante sur $R^{-}$

Tu peux faire les tableaux de variation correspondant à chaque intervalle demandé et trouver les réponses.

Tu peux aussi raisonner directement par intervalles (l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle)

Un exemple: f(]-1,2[)

Tu décomposes en intervalles sur lesquels f est bijective

]-1,2[=]-1,0[ ∪ [0,2]

Sur ]-1,0[, f continue et strictement décroissante :
f(]-1,0[) = ]f(0),f(-1)[ = ]0,1[

Sur [0,2], f continue et strictement croissante :
f([0,2]) = ]f(0),f(2)[ =[0,4]

f(]-1,2[)=]0,1[ ∪ [0,4] = [0,4]

Autre exemple: $f^{-1}$([−1,1])

Tu résous -1 ≤ x² ≤ 1

Vu que x² ≥ 0, 0 ≤ x² ≤ 1

$0\le x^2\le 1\leftrightarrow 0\le \sqrt{x^2}\le 1\leftrightarrow 0\le |x|\le 1\leftrightarrow -1\le x\le 1$

$f^{-1}$([−1,1])=[-1,1]

Tu poursuis,

Remarque: Pour $f^{-1}$(R\N), cela se réduit à $f$^{-1}$(R^{+}$\N)
Tu raisonnes par intervalle de type ]n,n+1[ avec n∈N

$n<x^2<n+1\leftrightarrow \sqrt{n}<|x|<\sqrt{n+1}\leftrightarrow \sqrt{n}<x<\sqrt{n+1}ou-\sqrt{n}<x<-\sqrt{n+1}$
Tu tires la conclusion générale.

Bon travail.