n^(n+1) et (n+1)^n suite
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Cclemm38 dernière édition par
Salut à tous, après les fêtes de Noël il est tant de se mettre au boulot !!!
Ma prof de maths nous a donné un petit DM mais qui me laisse vraiment perplexe...
Énoncé:
n étant un entier naturel, qui est le plus grand ?
n^(n+1) ou (n+1)^nCet exercice étant en lien avec le chapitre de la fonction ln j'ai tout essayé mais avec les suites mais je suis dans l'échec total...
Merci de votre aide
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Quelques pistes possibles,
Vu que l'énoncé ne donne aucune indication, je te suggère de commencer par conjecturer ce que tu vas démontrer ensuite.
Pour n=0,1,2,3,4,5,...à main et/ou calculette, calcule chacune des 2 expressions et compare les.
Sauf erreur,
pour n=0 , 1 , 2 : nn+1<(n+1)nn^{n+1}\lt (n+1)^nnn+1<(n+1)n
pour n ≥ 3 : nn+1>(n+1)nn^{n+1}\gt (n+1)^nnn+1>(n+1)n
Il te reste à démontrer la propriété conjecturée pour n ≥ 3
Je te donne des indications pour faire la démonstration avec les puissances.
Regarde avec les logarithmes si tu préfères, mais je n'ai pas cherché.Transformation de l'inégalité à démontrer :
$\fbox{n^{n+1}\gt (n+1)^n} \leftrightarrow n^{n+1} \gt (n(1+\frac{1}{n}))^n \leftrightarrow n^{n+1} \gt n^n(1+\frac{1}{n})^n$
En divisant les 2 membres par nnn^nnn, cela équivaut à :
$\fbox{n \gt (1+\frac{1}{n})^n}$
Un raisonnement par récurrence ( pour n ≥ 3) peut te permettre de démontrer assez simplement cette dernière inégalité écrite.
Bon travail.
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Cclemm38 dernière édition par
Merci beaucoup pour cette aide mais je n'arrive pas à trouver la solution pour la récurrence. Je suis bloqué avec :
n+1 > (1+1/n+1)^n+1
Je ne sais pas comment m'y prendre pour retourner sur :
n > (1+1/n)^n
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mtschoon dernière édition par
Tu indiques l'initialisation pour n=3 (elle a été faite précédemment)
Pour l'hérédité
Tu supposes que :
(1+1n)n< n(1+\frac{1}{n})^n \lt\ n(1+n1)n< n
Tu dois démontrer que :
(1+1n+1)n+1< n+1(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \lt\ n+1(1+n+11)n+1< n+1
Piste pour démarrer la démonstration
(1+1n+1)n+1<(1+1n)n+1(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \lt (1+\frac{1}{n})^{n+1}(1+n+11)n+1<(1+n1)n+1
Or,
(1+1n)n+1=(1+1n)n×(1+1n)(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(1+\frac{1}{n})^{n}\times (1+\frac{1}{n})(1+n1)n+1=(1+n1)n×(1+n1)
En utilisant l'hypothèse de la récurrence tu arrives très rapidement à l'inégalité voulue.
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Cclemm38 dernière édition par
En effet ce n'était pas très compliqué mais je n'ai jamais pensé à multiplier la première inégalité par (1+1/n).
Merci beaucoup pour votre aide et bonne journée
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mtschoon dernière édition par
De rien et bonne fin de vacances à toi .