continuité, dérivabilité , fonction par morceaux

Bonjour, j'ai un dm de math et je suis bloquée pour les questions 2 et 3

merci d'avance

Coisir un nombre a entier strictement négatif (j'ai choisi -1), et un nombre b strictement positif (j'ai choisi 1). Une fonction f est définie comme suit :

sur ]-∞;a], f(x)=0
sur ]a;b[, f est représentée par une parabole
sur [b; +∞[, f est une fonction affine et f(b)=2
de plus, f est continue sur R

Y a-t-il une fonction f vérifiant ces conditions ? Si oui, est-elle unique ?
Condition supplémentaire : f est dérivable en a.
Traduire cette condition en termes mathématiques. f est-elle alors unique ?
Condition supplémentaire : f est dérivable en b. Même question.

Conseils : Séparer clairement les hypothèses de recherche, les calculs et les conclusions. Ne pas hésiter à faire des dessins ! "

Bonjour,

Idées à exploiter pour la 2) et pour la 3)

f dérivable en a veut dire que f'(a) existe (existence de la tangente (T1), au point de la courbe d'abscisse a, ayant pour coefficient directeur f'(a))

Sur ]-∞;a], f(x)=0 (demi-droite sur l'axe des abscisses)
le nombre dérivé à gauche en a est 0

Le nombre dérivé à droite en a (relatif à la parabole d'équation y=Ax²+Bx+C doit donc valoir 0)

Tu auras ainsif'(a)=0

De même, f dérivable en b veut dire que f'(b) existe (existence de la tangente (T2), au point de la courbe d'abscisse b, ayant pour coefficient directeur f'(b) )

Sur [b,+∞[, f(x)=mx+p
Le nombre dérivé à droite en b (relatif à la demi-droite d'équation y=mx+p est m

Le nombre dérivé à gauche en b (relatif à la portion de parabole d'équation y=Ax²+Bx+C doit donc valoir m)

Tu auras ainsif'(b)=m