Exos dénombrement... AU SECOURS !

[Misti]

bonjour, voilà mon DM pour jeudi.
il comporte 3 exercices

Ex1:
combien de nombres différents peut-on former avec les chiffres 1 1 1 1 2 2 3 ?

je propose 6!=720
est-ce cela ?

Ex2:
développer $(x-1{)}^7$

*je propose $C($^7${}_k$) $\ast x^{7-k}$ * $(-1{)}^k$

mais je ne connais pas k...*

merci d'avance
Misti

[Zauctore]

Le binôme de Pascal (ou de Newton)
k=0; 1
k=1; 1 1
k=2; 1 2 1
k=3; 1 3 3 1
k=4; 1 4 6 4 1
k=5; 1 5 10 10 5 1
k=6; 1 6 15 20 15 6 1
k=7; 1 7 21 35 35 21 7 1
etc.
donne les coefficients binomiaux, i.e. ceux du développement de (a + $b{)}^k$.
Donc (x - $1{)}^7$ = $x^7$ - $7x^6$ + $21x^5$ - $35x^4$ + $35x^3$ - $21x^2$ + 7x - 1.

[Misti]

merci beaucoup..
par contre, pour le 1er exercice je me suis trompée
est ce que la réponse est 7! = 5040 ???
merci d'avance

[Zauctore]

Combien de nombres différents de sept chiffres peut-on former avec les chiffres distincts 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 ?

[Misti]

???

[Misti]

dans l'exercice 2, il y a encore 2 points:
¤* développer et simplifier $(1+2j{)}^6$ avec j= e $^{2i$pi$/3}$*

je trouve: 1408 $e^{12i$pi$/3}$ + 1280 $e^{6i$pi$/3}$ + 1

¤ développer (cosx + i $sinx{)}^4$ où x est un réel

je trouve: (cos $x{)}^4$ + 4(cos $x{)}^3$ (i sin x) +6(cos x)^2(i sin x)^2 + 4(cos x)*(i sin $x{)}^3$ + 4 (i sin $x{)}^4$

merci d'avance pour votre aide
Misti

[Zauctore]

Des simplifications semblent possibles - je n'ai pas refait tes calculs (assure-toi de leur validité).

N'oublie pas que, par exemple, tu as (i sin $x{)}^2$ = - $si{n}^2$ x.

Remarque : avec cos x + i sinx = $<strong>e</strong{>}^{ix}$, tu as aussi
(cos x + i sin $x{)}^4$ = $<strong>e</strong{>}^{4ix}$ = cos (4x) + i sin (4x).

Retour au dénombrement : sauf erreur, il y a 7! possibilités distinctes si les chiffres considérés sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Il s'agit de savoir l'influence des "répétitions" lorsque les chiffres sont ceux que tu as donnés dans ton post initial.

[Misti]

merci pour votre aide
dans l'excercice 3, je bloque à la dernière question:
au poker, on distribue 5 cartes d'un jeu de 32, quelle est la probabilité d'avoir un carré?

pour moi, les probabilités d'avoir un carré sur les 8 compris dans le jeu est

$($^8${}_4$) / $($^{32}${}_5$)
mais le problème, c'est qu'il me faudrait 5 cartes en tout...

merci d'avance (c'est pour jeudi)
Misti

[Misti]

svp, pouvez vous m'aider, c'est pour demain... :frowning2:
merci d'avance