Fonction au carré

Bonsoir,

Je suis sur la résolution d'un exercice d'un Devoir Maison, j'ai commencé la résloution et je me demande si je suis sur la bonne voie.

Exercice:

Soit f la fonction définie sur R{-2} par:

f(x) = -3/(x+2)²+1

Question: Montrer que f est décroissante sur ]-∞;-2[ grâce à l'étude du signe de f(a)-f(b)

Difficulté: Avec cette méthode, je n'arrive pas à établir le tableau des signes.

Résolution en cours:

1/ Démonstration:

On calcule f(a)-f(b) = -3/(a+2)² +1 - (-3/(b+2)² +1)

= -3/(a+2)² +1 +3/(b+2)² -1

= -3/(a+2)² +3/(b+2)²

= -3 (b+2)²/ (a+2)(b+2)² + 3(a+2)²/(b+2)²(a+2)²

= -3(b² +4b+4)/ (a+2)²*(b+2)² + 3(a²+4a+4)/(b+2)²*(a+2)²

= -3b²-12b-12/ (a+2)²*(b+2)² +3a² +12a+12/(a+2)²*(b+2)²

= -3b²-12b+3a²+12a/ (a+2)²*(b+2)²

= b (-3b-12)+a(3a+12)/ (a+2)²*(b+2)²

Tableau de signes: Avec ce calcul, je n'arrives pas a établir le tableau de signes pour démontrer quelle est décroissante.

Tableau de signes sur DM function au carré

En vous remerciant d'avance pour m'aider à trouver la voie de cette résolution.

Rosalie83

Bonjour,

Je suppose qu'il s'agit bien de $f(x)=−3(x+2)2+1f(x)=-\frac{3}{(x+2)^2}+1$

a < -2 et b < -2

Il faut que tu transformes f(a)-f(b) en factorisant le numérateur

Reprends tes calculs

Tu dois trouver :

f(a)-f(b)=[3(a²-b²+4a-4b)] / [(a+2)²(b+2)²]

Tu factorises le numérateur par (a-b)

Tu dois trouver

f(a)-f(b)= [3(a-b)(a+b+4)] / [(a+2)²(b+2)²]

Sans tableau, tu raisonnes su les signes de chaque facteur.

Si a < b , a-b < 0 . tu dois trouver f(a)-f(b) > 0 d'où f(a) > f(b) d'où
f décroissante sur ]-∞,-2[

Désolée pour l'écriture, les codes LaTex et BB se sont bloqués...et j'ai écrit seulement en texte mal lisible...

Bonsoir,

Je vous remercie pour votre aide et grâce a celle-ci j'ai réussi et compris mon exercice.

Merci encore beaucoup

Rosalie 83

De rien !

Bon DM.