un joyeux melange de graphes et de suites.



  • Bonjours, je suis nouveau sur le site et je suis desole car je ne vais pas pouvoir mettre d'accents quand j'ecris car j'ai un clavier qwerty.
    Je suis en terminale ES a grenobl et j'ai quelques petits problemes pour un DM d'option math.
    l'enonce est le suivant:
    On etudie les effectifs de deux population d'animaux cohabitant sur un meme territoire.
    Initialement on compte a0a_0 = 100 animaux de l'espece A et b0b_0 =200 animaux de l'espece B. On appellera ana_n la population A au bout de n jours, et bnb_n la population de l'espece B au boute de n jours.
    On admet que d'un jours a l'autre, la population A passe a un effectif obtenu en ajoutant 75% de son effectif precedent et 25% de l'effectif precedent de la population B.
    Et de maniere analogue l'espece B passe dans le meme temps a un effectif obtenu en ajoutant a 75% de son effectif precedent, 25% de l'effectif precedent de l'espece A.

    1a)Verifier que pour tout entier naturel n, on a:
    (les deux accolades n'en representent qu'une)
    ${a_{(n+1)}$ = (3/4)an(3/4)a_n + (1/4)bn(1/4)b_n
    ${b_{(n+1)}$ = (1/4)an(1/4)a_n + (3/4)bn(3/4)b_n

    J'ai donc remplacer les 1/4 et les 3/4 par les 25% et 75% de l'ennonce et j'ai montre que cela revenait au meme mais je suis pas convaincu que ce soit la reponse qu'attend ma prof de math.

    1b) On pose
    EnE_n =
    [an[a_n]
    [bn[b_n]
    (Les deux crochets representent une et une seule matrice)
    Definir une matrice A telle que pour tout entier naturel n,
    En+1E_{n+1} = AEnA*E_n

    J'ai donc trouve que
    A=
    [3/4 1/4]
    [1/4 3/4]
    (encore un seule matrice)
    mais j'ai fait cela un petit peu comme ca venai, sans vraiment utiliser de formule comme A<em>A1A<em>A^{-1}[x]
    [y] = A1A^{-1}*... car je ne savais pas trop comment l'utiliser vu qu'il s'agissait d'un matrice avec 2 lignes et 2 colonnes.

    c) puis il faut verifier que
    A^2 =
    [5/8 3/8]
    [3/8 5/8]
    pas de probleme pour ca mais je ne commprend pas exactement comment en deduir a2a_2 et b2b_2 comme ils le demande.

    Puis ca se corse:

    1. tnt_n = ana_n + bnb_n
      ils demande ce que represente t, ca c'est bon mais ensuite il est demande de verifier que la suite (tn(t_n) est constante or je n'arrive pas a determiner si tnt_n et une suite geometrique ou une suite arithmetique, ce qui m'enpeche de voure si elle est constante.
      en calculant (a(a_{(n+1)})/an)/a_n et pareille pour b puis pour t ( tout en remplacant le n+1 par le formules ennoncees dans le 1a mais je n'arrive a rien).

    c) ce qui me bloque pour la question suivant:
    en deduire que pour tout entier naturel n,
    an+1a_{n+1} = 0,5an5a_n + 75.

    merci infiniment pour votre aide.
    magicaltrevor

    J'ai fait de mon mieux pour rendre ça lisible... (N. d. Z.)



  • Finallement j'ai trouve les reponses pour la 1c, la 2ab
    mais a la 2c il est demande en deduir que pour tout entier naturel n,
    an+1a_{n+1} = 0,5an5a_n + 75 et la je bloque.
    3)a ils demandent maintenant: apres avoir prouve que
    cnc_n = 150 - ana_n est geometrique (ca c'est bon) d'en deduire que
    ana_n = 150 - 50*0,5n5^n e la je bloque encore

    merci d'avance pour votre aide 😄

    Pareil... (N. d. Z.)


  • Modérateurs

    Bonsoir magicaltrevor,
    Tes posts sont franchement illisibles car tu oublie les balises "fin d'indice". Je te laisse rééditer toi-même ton message (touche modifer/supprimer).
    A bientôt,


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