un joyeux melange de graphes et de suites.

[magicaltrevor]

Bonjours, je suis nouveau sur le site et je suis desole car je ne vais pas pouvoir mettre d'accents quand j'ecris car j'ai un clavier qwerty.
Je suis en terminale ES a grenobl et j'ai quelques petits problemes pour un DM d'option math.
l'enonce est le suivant:
On etudie les effectifs de deux population d'animaux cohabitant sur un meme territoire.
Initialement on compte $a_0$ = 100 animaux de l'espece A et $b_0$ =200 animaux de l'espece B. On appellera $a_n$ la population A au bout de n jours, et $b_n$ la population de l'espece B au boute de n jours.
On admet que d'un jours a l'autre, la population A passe a un effectif obtenu en ajoutant 75% de son effectif precedent et 25% de l'effectif precedent de la population B.
Et de maniere analogue l'espece B passe dans le meme temps a un effectif obtenu en ajoutant a 75% de son effectif precedent, 25% de l'effectif precedent de l'espece A.

1a)Verifier que pour tout entier naturel n, on a:
(les deux accolades n'en representent qu'une)
${a_{(n+1)}$ = $(3/4)a_n$ + $(1/4)b_n$
${b_{(n+1)}$ = $(1/4)a_n$ + $(3/4)b_n$

J'ai donc remplacer les 1/4 et les 3/4 par les 25% et 75% de l'ennonce et j'ai montre que cela revenait au meme mais je suis pas convaincu que ce soit la reponse qu'attend ma prof de math.

1b) On pose
$E_n$ =
$[a_n$]
$[b_n$]
(Les deux crochets representent une et une seule matrice)
Definir une matrice A telle que pour tout entier naturel n,
$E_{n+1}$ = $A\ast E_n$

J'ai donc trouve que
A=
[3/4 1/4]
[1/4 3/4]
(encore un seule matrice)
mais j'ai fait cela un petit peu comme ca venai, sans vraiment utiliser de formule comme $A<em>A^{-1}$[x]
[y] = $A^{-1}$*... car je ne savais pas trop comment l'utiliser vu qu'il s'agissait d'un matrice avec 2 lignes et 2 colonnes.

c) puis il faut verifier que
A^2 =
[5/8 3/8]
[3/8 5/8]
pas de probleme pour ca mais je ne commprend pas exactement comment en deduir $a_2$ et $b_2$ comme ils le demande.

Puis ca se corse:
2) $t_n$ = $a_n$ + $b_n$
ils demande ce que represente t, ca c'est bon mais ensuite il est demande de verifier que la suite $(t_n$) est constante or je n'arrive pas a determiner si $t_n$ et une suite geometrique ou une suite arithmetique, ce qui m'enpeche de voure si elle est constante.
en calculant $(a$_{(n+1)}$)/a_n$ et pareille pour b puis pour t ( tout en remplacant le n+1 par le formules ennoncees dans le 1a mais je n'arrive a rien).

c) ce qui me bloque pour la question suivant:
en deduire que pour tout entier naturel n,
$a_{n+1}$ = 0,$5a_n$ + 75.

merci infiniment pour votre aide.
magicaltrevor

J'ai fait de mon mieux pour rendre ça lisible... (N. d. Z.)

[magicaltrevor]

Finallement j'ai trouve les reponses pour la 1c, la 2ab
mais a la 2c il est demande en deduir que pour tout entier naturel n,
$a_{n+1}$ = 0,$5a_n$ + 75 et la je bloque.
3)a ils demandent maintenant: apres avoir prouve que
$c_n$ = 150 - $a_n$ est geometrique (ca c'est bon) d'en deduire que
$a_n$ = 150 - 50*0,$5^n$ e la je bloque encore

merci d'avance pour votre aide

Pareil... (N. d. Z.)

[Thierry]

Bonsoir magicaltrevor,
Tes posts sont franchement illisibles car tu oublie les balises "fin d'indice". Je te laisse rééditer toi-même ton message (touche modifer/supprimer).
A bientôt,