Démonstration avec des vecteurs !

Bonjour !

Je reviens une nouvelle fois avec une difficulté sur les vecteurs, mais cette fois-ci, concernant une démonstration... Cela fait trois jours que je la retourne dans tous les sens, et rien...

Voici les données de l'énoncée :

• $AI⃗=13AB⃗\vec{AI} = \frac{1}{3}\vec{AB}$

• $CJ⃗=23CA⃗\vec{CJ} =\frac{2}{3}\vec{CA}$

Avec cela, il faut démontrer l'égalité suivante :

$IJ⃗=13BC⃗\vec{IJ} = \frac{1}{3}\vec{BC}$

J'ai voulu prendre le membre de gauche et appliquer la relation de Chasles :

$IJ⃗=IC⃗+CJ⃗\vec{IJ} = \vec{IC} + \vec{CJ}$

Ensuite, j'ai remplacé $CJ⃗\vec{CJ}$ par $23CA⃗\frac{2}{3}\vec{CA}$

Et après, je ne sais pas du tout comment continuer et je ne pense même pas que le début soit juste... Besoin d'un petit coup de pouce !

Merci à vous !

Bonjour,

Tu peux décomposer un peu plus

$IJ⃗=IA⃗+AC⃗+CJ⃗=13BA⃗+AC⃗−23AC⃗\vec{IJ}=\vec{IA}+\vec{AC}+\vec{CJ}=\frac{1}{3}\vec{BA}+\vec{AC}-\frac{2}{3}\vec{AC}$

D'où :

$IJ⃗=13BA⃗+AC⃗(1−23)\vec{IJ}=\frac{1}{3}\vec{BA}+\vec{AC}(1-\frac{2}{3})$

Essaie de terminer.

Reposte si besoin.

Cela fait :

$13BA⃗+AC⃗13\frac{1}{3}\vec{BA} + \vec{AC} \frac{1}{3}$

$13(BA⃗+AC⃗)\frac{1}{3}(\vec{BA} + \vec{AC} )$

$13BC⃗\frac{1}{3}\vec{BC}$

En fait, je ne comprends pas pourquoi vous avez changé le signe devant $23\frac{2}{3}$ ... Et que représente le 1 , la ligne d'après ?

Si j'avais commencé avec $13BC⃗\frac{1}{3} \vec{BC}$ aurait-ce été plus simple ?

Ta fin de calculs est bonne.

J'essaie de répondre à tes 3 dernières questions dans l'ordre.

$CJ⃗=23CA⃗\vec{CJ}=\frac{2}{3}\vec{CA}$ donc $CJ⃗=−23AC⃗\vec{CJ}=-\frac{2}{3}\vec{AC}$

Tu as vu ces changements dans tes exercices de construction.

$AC⃗=1×AC⃗\vec{AC}=1\times \vec{AC}$

Cela est nécessaire pour la mise en facteur.

Si ça te plait, tu peux commencer par $13BC⃗\frac{1}{3}\vec{BC}$ et décomposer ensuite, mais ça n'est pas plus simple....

A toi de voir.

Tu peux faire les deux méthodes, pour t'entraîner.

Quelque chose m'échappe...

$JC⃗=23CA⃗\vec{JC}= \frac{2}{3}\vec{CA}$

Ce n'est pas possible, c'est $CJ⃗\vec{CJ}$ qui est égal à ceci, non ?

Oui, tu as raison :

$CJ⃗=23CA⃗\vec{CJ}=\frac{2}{3}\vec{CA}$ donc $CJ⃗=−23AC⃗\vec{CJ}=-\frac{2}{3}\vec{AC}$

D'accord, j'ai compris pour le principe de la démonstration... Mais je me mélange un peu... Quand je veux inverser un vecteur, par exemple
$AI⃗\vec{AI}$
Si je veux remplacer ce vecteur par
$IA⃗\vec{IA}$

Il faut que je change le signe de $13\frac{1}{3}$ et en même temps que j''inverse le vecteur suivant ? En fait, quand je veux inverser un vecteur, que faut-il que je
change ? Le signe, le vecteur d'après ?

Par exemple,

$AI⃗=13AB⃗\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB}$

Si tu veux en déduire $IA⃗\vec{IA }$

Tu peux dire :

$IA⃗=−13AB⃗\vec{IA }=-\frac{1}{3}\vec{AB}$

Tu peux dire aussi

$IA⃗=13BA⃗\vec{IA }=\frac{1}{3}\vec{BA}$

Il ne faut pas faire les deux à la fois(tu fais l'un ou l'autre en fonction de ce qui t'arranges dans l'exercice, mais pas les deux, car faire les deux, c'est comme si tu ne faisais rien) :

$−13BA⃗=13AB⃗=AI⃗-\frac{1}{3}\vec{BA}=\frac{1}{3}\vec{AB}=\vec{AI}$

Ah d'accord... Si j'ai, admettons,

$MP⃗=2MA⃗\vec{MP} = 2\vec{MA}$

Cela veut dire que je pourrai écrire :

$PM⃗=−MP⃗=2AM⃗\vec{PM} = -\vec{MP} = 2\vec{AM}$

OU $−2MA⃗-2\vec{MA}$

C'est cela ?

Oui, c'est tout à fait ça .

Bravo !

Super ! Merci !

Juste, pour revenir à l'exercice de tout départ, si j'avais commencé par le membre de droite, le raisonnement aurait-il été le même ?

En règle général, pour les démonstrations de ce type, il faut constamment que je développe dans le but de trouver un vecteur de l'énoncé et le remplacer ?

Et, lorsque j'ai omis de demander .... Pour les signes avec les additions, il faut mettre quoi ?

Ex:

$IU⃗=IR⃗+TI⃗\vec{IU}= \vec{IR} + \vec{TI}$

Si je veux mettre $UI⃗\vec{UI}$

Il faut que je change quoi à l'expression ?

(Ce sont mes dernières questions, promis, je suis désolée d'en poser autant)

J'essaie de répondre à tes dernières questions.

Lorsque tu dois démontrer une égalité, tu dois partir d'un membre et le transformer, pour obtenir l'autre.
En principe, on part plutôt du membre de gauche pour obtenir le membre de droite, mais on peut faire le contraire.
L'essentiel est de faire une démonstration exacte.

La méthode usuelle dans les démonstrations relatives aux vecteurs est la décomposition avec la relation de Chasles mais bien sûr, il faut décomposer en fonction de ce qui est souhaité...

Je regarde ton exemple

$IU⃗=IR⃗+TI⃗\vec{IU}=\vec{IR}+\vec{TI}$

Je ne sais pas si tu l'as fait exprès, mais le membre de droite se simplifie

$IU⃗=TI⃗+IR⃗=TR⃗\vec{IU}=\vec{TI}+\vec{IR}=\vec{TR}$

Si tu veux mettre $UI⃗\vec{UI}$ :

$UI⃗=−IU⃗=−(IR⃗+TI⃗)=−IR⃗−TI⃗=RI⃗+IT⃗=RT⃗\vec{UI}=-\vec{IU}=-(\vec{IR}+\vec{TI})=-\vec{IR}-\vec{TI}=\vec{RI}+\vec{IT}=\vec{RT}$

Ah d'accord, super, merci

De rien !

Bon calculs vectoriels.