Trouver les solutions d'une équation différentielle



  • Bonjour,

    j'ai du mal à faire deux équations différentielles.

    pour commencer:

    quelle est la solution de 7y'+42y=0 avec y'(0)=9
    j'ai trouvé y'(t)= -42/7 λ\lambdae^-42/7
    ou -6 λ\lambdae^-6

    je suis bloqué après



  • Bonjour,

    Ta réponse est très confuse.

    Regarde la méthode de ton cours

    7y'+42y=0 <=> 7y'=-42y <=>y'=-6y

    Tu as une équation différentielle de la forme y=ayy'=ay

    Les solutions sont les fonctions de la forme y(t)=λeaty(t)=\lambda e^{at}

    Ici, tu obtiens donc :y(t)=λe6t\fbox{y(t)=\lambda e^{-6t}}

    Tu dois trouver la solution particulière qui vérifie y(0)=9y'(0)=9

    Tu calcules donc y'(t)

    La relation y'(0)=9 te donnera la valeur de la constante λ



  • y(t)=6λexp(6t)y'(t)= -6\lambda exp(-6t)

    y(0)=9y'(0)= 9

    y(0)=6λexp(60)=6λy'(0)= -6\lambda exp(-6*0)= -6\lambda

    λ9/6\lambda -9/6

    y(t)=9/6texp(6t)y(t)= -9/6t exp(-6t)

    dans les réponses données j'ai -63/42exp(-6t) qui est identique à la réponse précédente( si je ne me trompe pas il suffit de * numérateur et dénominateur par 7)



  • Oui, c'est ça.

    D'ailleurs, la constante peut-être simplifiée davantage (par 3)

    La meilleure écriture de la réponse est :

    $y(t)=-\frac{3}{2}e^{-6t$



  • Merci

    je suis un peu perdu pour 7y'+35y=0 avec y'(9)=11

    y'=-35/7

    35/7λexp(45)-35/7 \lambda exp(-45)



  • avec ce que j'ai pu faire j'arrive à determiner que la réponse est -77/35e^-5(t-9)

    Mais je ne comprends pas tout



  • Prends l'habitude de simplifier

    Je détaille car je ne comprends guère ta démarche

    7y'+35y=0 <=> 7y'=-35y <=> y'=(-35)/7y <=> y=5yy'=-5y

    En appliquant ton cours :

    y(t)=λe5t\fbox{y(t)=\lambda e^{-5t}}

    Pour trouver la valeur de λ

    tu dérives :

    y(t)=5λe5ty'(t)=-5\lambda e^{-5t}

    y(9)=115λe45=11y'(9)=11 \leftrightarrow -5\lambda e^{-45}=11

    tu isoles λ (et bien sûr, il faut utiliser les propriétés des puissances)

    λ=115e45=115e45\lambda=\frac{11}{-5e^{-45}}=-\frac{11}{5}e^{45}

    CONCLUSION :

    y=115e45e5ty=-\frac{11}{5}e^{45}e^{-5t}

    Tu peux transformer pour trouver le résultat proposé (en utilisant les propriétés des puissances)

    y=115e455t=115e5(t9)\fbox{y=-\frac{11}{5}e^{45-5t}=-\frac{11}{5}e^{-5(t-9)}}

    Le résultat proposé est bien le bon vu que :

    7735=11×75×7=115-\frac{77}{35}=-\frac{11 \times 7}{5\times 7}=-\frac{11}{5}

    Revois tout ça de près.



  • Merci beaucoup, cela m a beaucoup aidé


 

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