Exercice sur les espaces vectoriels

[firstchil974]

Bonjour à tous !
J'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice concernant les espaces vectoriels. Voici le sujet:

Dans l'espace vectoriel $$mathbb{R}$^4$, on considère les vecteurs:
u=(1,3,2,1), v=(-4,3,7,-1), w=(2,1,-1,1)
et F=Vect(u,v,w) le sous-espace vectoriel de $$mathbb{R}$^4$ engendré par u,v et w. On considère de plus: G={(-2x+y, -x+2y,x+3y,-x+4y)∈$$mathbb{R}$${}^4$}_{(x,y)∈$mathbbR$2}$.

1- Déterminer une base et la dimension de F.
2- Demontrer que G est un sous-espace vectoriel de $$mathbb{R}$^4$, dont on déterminera une base et la dimension.
3- Déterminer une base et la dimension de F∩G. A-t-on F+G ? (ici le "+" désigne une somme directe)
4- Déterminer une base et la dimension de F+G. (ici le "+" ne désigne pas une somme directe)
5- compléter la base obtenue de F+G en une base de $$mathbb{R}$^4$.End\acute{e}duireunsuppl\acute{e}mentairedeF+Gdans$$mathbbR$^4$.
6- Quelles sont les coordonnées de α=(1,1,1,1) dans cette base ?

Pour la première question, j'ai montrer que:
λ${}_1$u+λ${}_2$v+λ${}_3$w=0
⇔ λ${}_2$= $\frac{3}{5}$λ${}_3$
λ${}_1$=$\frac{-2}{5}$λ${}_3$
Donc u,v et w sont liées donc la dimension de F est 2 et une base de F est $B_F$=(u,v)

Pour la deuxième question, j'ai montré que:
G=Vect((-2,-1,1,-1);(1,2,3,4))=Vect(a,b)
Comme a et b ne sont pas colinéaires, alors dim(G)=2 et une base de G est : $B_G$=(a,b).

Pour la question trois, je ne suis pas sur que j'ai le bon raisonnement.
J'ai montré que la famille (u,v,a,b) était une famille libre et on en déduit que dim(F∩G)=4 et qu'une base est $B_{F\cap G}$=(u,v,a,b).

J'ai ensuite dit que la somme F+G n'est pas directe car F∩G contient une base, donc leur intersection est non vide. Donc F∩G≠{0} ⇒ F+G n'est pas une somme directe.

Mais je ne pense pas que ça soit le bon raisonnement pour la dimension et la base de F∩G car pour la question 4, il y a une contradiction.

Pour la question 4, j'ai déterminer la dimension de F+G à l'aide de la formule de Grassmann:
dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F∩G) ⇔ dim(F+G)= 2+2-4=0.
Je ne pense pas que ça soit possible. Et je ne sais pas comment déterminer cette base.

Pour la question 5 et 6, je n'ai pas pu les faire n'ayant pas la base de F+G.

Je vous remercie d'avance pour votre aide et je vous souhaite une bonne journée !

[mtschoon]

Bonjour,

Je regarde tes résultats.

Pour la 1), oui pour la démarche mais vérifie tes calculs.
Je les ai tapés rapidement à la calculatrice (donc une faute de frappe est toujours possible, bien sûr)
J'obtiens :$w=\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}v$

Donc, vérifie.

Effectivement, ta démarche pour la 3) est bizarre

dim F =2 et dim G=2 donc dim(F∩G)≤2

Les éléments de F sont de la forme $\alpha u+\beta v$
Les éléments de G sont de la forme$\gamma a+\delta b$

Les éléments de l'intersection satisfont à
$\alpha u+\beta v=\gamma a+\delta b$
Cela conduit à un système d'équations permettant de déterminer l'intersection.
D'après mes calculs (seulement fait à la calculette), $\delta =0$
{a} est base de (F∩G)
dim((F∩G)=1

dim(F+G)=dimF+dimG-dim(F∩G)=2+2-1=3

La somme F+G n'est pas directe

Base de F+G ={u,v,a}

Je te laisse poursuivre.

Bon travail .

[firstchil974]

Bonjour mtschoon,
J'ai refait mes calculs pour la 1 est j'ai retrouvé w=(-2/3)u+(1/3)v

J'avais commencé à résoudre ce système et j'avais aussi trouvé que δ=0 mais je ne savais pas si ça suffisait à montré que a était une base de F∩G.
J'ai donc fait la suite en supposant que dim(F∩G)=1. Pour la question 4 j'avais trouvé dimF+G=3 et que sa base est B=(u,v,a).

Pour la question 5, j'ai montré que la famille (u,v,b,$e_1$) était une famille libre (avec $e_1$=(1,0,0,0). On en déduit que c'est une base de $$mathbb{R}$^4$ et que $Vect(e_1$) est un supplémentaire de F+G dans $$mathbb{R}$^4$.

et pour la question 6, j'ai trouvé les coordonnées suivantes :
α$=$\frac{1}{5}$u+$\frac{1}{5}$b+$\frac{3}{5}$e_1$.

Merci beaucoup mtschoon pour votre aide !

[mtschoon]

Pour le premier, vérifie encore

Ma calculette m'a renvoyé $-\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}v+w=0$ d'où ma proposition $w=\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}v$

(mais je n'ai pas recompté "à la main" )

Pour F∩G, vu que$\delta =0$ , les éléments de F∩G sont de la forme$\gamma a$

a étant non nul, {a} est une base de F∩G

Pour la 5), la famille (u,v,a) est une base de E+F, donc c'est la famille (u,v,a,e1) qui doit être une base de $R^4$

C'est peut-être ce que tu as voulu écrire.

Bon travail.

[firstchil974]

Bonjour mtschoon,

pour la question 1 j'avais mal écrit ma réponse ! Je trouve également -$\frac{2}{3}$u+$\frac{1}{3}$+w=0

D'accord, merci.

Euh oui, je me suis trompé.

Merci mtschoon pour vos explications ! Bonne journée.

[mtschoon]

De rien !