Utiliser la loi binomiale pour le calcul de probabilités

Bonjour,

Petit blocage sur mon exercice sur la loi binomiale
Voici l'énoncé :

Danny essaie de trouver un code secret composé de 4 chiffres
Il utilise un logiciel qui essaie des codes aléatoirement, en pouvant, éventuellement ressayer un code déjà testé et qui ne s’arrête qu'à l'issue d'un nombre prédéfini d'essais

1/ Quelle est la probabilité qu'au cours de 1 000 essais, il tombe au moins une fois sur le bon code ?
2/ Combien d'essais doit-il effectuer pour que la probabilité de tomber au moins une fois sur le bon code, soit supérieure à 0,5 ?

Pour la question 1, j'ai répondu :
Succès = 1/1000
Échec = 999/1000

Donc P = 1/1000 ?
ça me parait trop simple pour une question de probabilité, non ?

Pour la question 2, cela a un rapport avec l'espérance ?

⇒ Merci de m'aider, car là je bloque

Bonjour,

Tu devrais revoir un peu tout ça.

Il y a 10 possibilités par chiffre du code (0,1,2,...,9)

Le nombre de codes possibles de 4 chiffres à taper est donc :
10 x10 x10 x10 $10^4$ =10000

Succès =...
Échec = ...

Comme c'est un code à 4 chiffres
S= 4 / 10 000 ?
Echec = 9 996 / 10 000

Non.

Pistes,

il y a 10 000 codes possibles mais un seul "code secret"

Probabilité d'un "succès" :p = 1 / 10 000

Probabilité d'un"échec" :1-p = 9 999 / 10 000

Soit X le nombre de succès

Il y a 1 000 essais (c'est à dire 1 000 épreuves répétées indépendantes)

Tu dois chercher P(X ≥ 1) =1-P(X=0)=.....

2)Il y a n essais (c'est à dire n épreuves répétées indépendantes)

Tu dois chercher n tel que : P(X ≥ 1) > 0.5

Ok
Mais je ne comprends pas pourquoi c'est sur 10 000.
Car dans la question, c'est sur 1 000 essais

Tu fais des confusions...

Pour10 000, relis ma première réponse.

10 000 = $10^4$ : nombre de tous les codes à 4 chiffres qui existent.

A la question 1, 1000 représente le nombre d'essais

A la question 2, n représente le nombre d'essais (et n est l'inconnue que l'on cherche)

Donc on sait qu'il y a 1 code juste = 4 / 10 000
Donc P ( pour trouver le bon code ) est de 0. 0004 ?
P = 0. 0004 / 1 000

Pour la question 2,

Ce que tu dis est inexact.

Relis mes réponses pour les comprendre.

mtschoon
Bonjour,

Tu devrais revoir un peu tout ça.

Il y a 10 possibilités par chiffre du code (0,1,2,...,9)

Le nombre de codes possibles de 4 chiffres à taper est donc :
10 x10 x10 x10 $10^4$ =10000

Succès =...
Échec = ...

Donc Succès = 4 / 1 000 = 0.0004
Et échec = 9 996 / 1 000 = 0.9996

Je t'ai déjà répondu :

Citation
l y a 10 000 codes possibles mais un seul "code secret"

Probabilité d'un "succès" : p = 1 / 10 000

Probabilité d'un"échec" : 1-p = 9 999 / 10 000

Ah d'accord - donc le 1 correspond au code et le 4 au chiffre d'1 code.
Donc la probabilité qu'au cours de 1 000 essais, il tombe au moins une fois sur le bon code est de 0,001 ?

non...

Tu ne sembles pas comprendre ce que je t'ai indiqué

(revois ton cours)

Citation
Soit X le nombre de succès

Il y a 1 000 essais (c'est à dire 1 000 épreuves répétées indépendantes)

Tu dois chercher P(X ≥ 1) =1-P(X=0)....

En essayant avec mon "début" de cours
1-P(X=0) = (1-(0,9999))^4 ?

Encore des confusions.

Il y a 1000 essais

Sur ces 1000 essais, P(X=0) est la probabilité d'avoir 0 succès c'est à dire d'avoir 1000 échecs

La probabilité d'avoir un échec est 9999 / 10000 =0.9999

La probabilité d'avoir 1000 échecs est $0.9999^{1000}$

$p(x=0)=0.9999^{1000}$

Tu en déduis la probabilité de P(X ≥ 1)

Donc pour la question 1,
succès = 1 / 10 000
échec = 9 999 / 10 000

Pour P(X≥1), P= 1-P(X=0) = 0,0952 ?

Oui.

Le raisonnement et la formule sont plus importants que la valeur numérique approchée trouvée à la calculette.
Alors, revois ton cours et le raisonnement, pour être sur(e) que tu as vraiment compris.

D'accord
Pour la question 2, il faut faire à partir de la calculatrice, non ?
Il faut calculer à partir de l’espérance je pense

Je t'ai déjà donné une indication pour la question 2.

Va voir.

mtschoon

2)Il y a n essais (c'est à dire n épreuves répétées indépendantes)

Tu dois chercher n tel que : [b]P(X ≥ 1) > 0.5

Je trouve 6,7*10^-23

Vu que tu donnes seulement une réponse (inexacte), j'ignore ce que tu as fait.

Vu que maintenant il ya n essais au lieu de 1000, tu dois trouver n tel que

$1−0.9999n>0.51-0.9999^n \gt 0.5$

Comme tu postes en Première, tu ne connais pas les logarithmes je suppose, alors teste à la calculette (si elle a une puissance suffisante)

J'ai une TI-82 stats

Je vais donc dans binomFRép ?

Je ne possède pas ta calculette, désolée.

Par les logarithmes, la plus petite valeur de n qui convient semble être 6932.

Bon courage !

Ah mince
Je n'ai pas d'autres méthodes pour trouver votre résultat ?

En Première , en principe, tu n'as que la calculette pour cette question.

Oui, mais je ne vois même pas comment je peux faire

Regarde la notice de ta calculette.
De plus, je suppose que tu as dû te servir en cours de ta calculette pour ce type de recherche.

Eventuellement, regarde ce lien

https://education.ti.com/sites/FRANCE/downloads/pdf/decouverte_TI82_stats0906.pdf