Conjecturer et raisonner par recurrence

Bonjour à tous
Déterminer à partir de quel rang la propriété 2^n≥(n+2)^2 semble vraie
Déterminer alors par récurrence que la propriété est vraie à partir du rang trouvé .

J ai trouvé que la propriété semble vraie au rang 6.
Puis pour démontrer par récurrence j ai fait ça :
On souhaite montrer par récurrence que pour tout naturel n ,la propriété suivante Pn : Un= 2^n≥(n+2)²
Soit n ∈N.On suppose que Pn est vraie et on démontre Pn+1 est vraie c-à-d que Un+1= 2^n+1≥(n+3)²
2^n+1= 2*2^n ≥2(n+2)²
2(n+2)²≥(n+3)²
2(n²+4n+4)≥ n²+6n+9
2n²+8n+8≥ n²+6n+9
n²+2n-1 ≥0
n²+2n+1-2≥0
(n+1)²-2≥0
Et là je bloque... normalement je dois trouver que n≥1 mais je n y arrive pas
Merci de m aider svp

Bonjour,

Ta conjecture est bonne.

Si j'ai bien lu, dans ton raisonnement, tu veux prouver que, pour n≥6, 2(n+2)²≥(n+3)²

n²+2n-1 ≥0 : tu peux utiliser le signe d'un polynôme du second degré, sur R, après avoir calculer discriminant et racines.

Tu dois trouver $\in ]-\infty, -1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt 2,+\infty[$

Pour n ≥ 6, la condition 2(n+2)²≥(n+3)² est donc bien réalisée.

Evidemment, si tu préfères, tu peux utiliser (n+1)²-2≥0, que tu factorises avec l'identité a²-b²=(a-b)(a+b) et ensuite, tu fais un tableau de signes, sur R, pour trouver le signe du produit suivant n.
Tu trouveras pareil, mais c'est plus long...

Je trouve ça :

n²+2n-1 ≥ 0
le discriminant = 2²-41(-1)
= 4 + 4 = 8
Donc n a deux solutions :

n1=( -2-√8)/2
n2= (-2+√8)/2

ce qui donne n1 = -2-√2 et n2 = -2+√2

mais je remarque que n2 ne fait pas la propriété vraie car 2(n+2)² ≤ (n+3)²...

$−2−82=−2−222=2(−1−2)2=−1−2\frac{-2-\sqrt 8}{2}=\frac{-2-2\sqrt 2}{2}=\frac{2(-1-\sqrt 2)}{2}=-1-\sqrt 2$

$−2+82=−2+222=2(−1+2)2=−1+2\frac{-2+\sqrt 8}{2}=\frac{-2+2\sqrt 2}{2}=\frac{2(-1+\sqrt 2)}{2}=-1+\sqrt 2$

Relis ma réponse précédente.

Pour n ≥ 6, nécessairement ces valeurs sont dans l'intervalle [-1+√2,+∞[, donc la condition 2(n+2)²≥(n+3)² est bien réalisée pour ces valeurs (supérieures ou égales à 6), donc la propriété d'hérédité est bien prouvée.

(J'espère que tu n'as pas oublié de faire avant l'initialisation pour n=6)

oui merci j'ai réussi et compris !
et non je n'ai pas oublié de faire l'initialisation pour n=6

De rien et bon travail !