Calculs sur des matrices

Hello,
Comme l'indique le titre j'ai un exo sur les matrices qui me perturbe assez... Voici le début de l'énoncé :

On désigne E l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 de la forme $0amp;b)\begin{pmatrix} a & c\ 0 & b \end{pmatrix}$ iù a, b et c sont des nombres réels.

I.

a) Démontrer que E, muni de l'addition des matrices et de leur produit par un scalaire est un espace vectoriel réel.
Donc voilà ce que j'ai fait, j'ai utilisé le th. de caractérisation pour montrer que E est un sev.
J'ai écrit :
E ⊂ $M_2$ (R)
E différent de l'ensemble vide car la matrice nul ∈ à E
Mq E est stable par combinaison linéraire
Soient λ,μ ∈ R
$\begin{pmatrix} a1 & a2 \ a3 & a4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} b1 & b2 \ b3 & b4 \end{pmatrix}$

Mq λA + μB ∈ E
Donc j'ai calculé, j'ai obtenu la matrice λA + μB = $λa3+μb3amp;λa4+μb4)\begin{pmatrix} \lambda a1 + \mu b1 &\lambda a2 + \mu b2 \ \lambda a3 + \mu b3 & \lambda a4 + \mu b4 \end{pmatrix}$

Jusque là, je ne pense pas avoir fait d'erreurs grossières...
Mais c'est par la suite où je bloque, pour montrer que λA + μB ∈ E
J'ai pensé par contre à poser, a = λa1 + μb1, b = λa3 + μb3 ect..
Est-ce que c'est possible ?

J'espère avoir été un minimum compréhensible, j'attends de l'aide de votre part...
Merci d'avance.

Bonsoir Veitchii,

A quelle condition les matrices A et B appartiennent elles à E ?

Bonsoir Noémie,

Elles appartiennent à E lorsque a3 et b3 valent zéro.

Et donc, que peut-on conclure à partir de cela je ne vois pas..

Bonjour ( je ne fais que passer)

Vu que $a_3$ =0 et $b_3$ =0, λ $a_3$ +μ $b_3$ =..... donc ......

Remarque : Au lieu de te compliquer, tu aurais pu, tout simplement prendre:

$a=\left( a_1\ a_2\0\ \ a_4\right)$

$b=\left( b_1\ b_2\0\ \ b_4\right)$

En calculant λA +μB, la justification de la stabilité est ainsi immédiate

Ha oui c'est vrai... Merci à toi mtschoon

b. Trouver une base et la dimension de E.
ça c'est bon
c. Démontrer que E est stable pour la multiplication des matrices.

Là je vous avoue que j'ai pas réussi, mais j'ai tenté plusieurs choses. En effet, j'ai pris la matrice et je les multiplié par une autre matrice, et je suis retombé sur la même. Dans un sens et dans l'autre càd que j'ai noté :

$\begin{pmatrix} a &c \ b & 0 \end{pmatrix}$ et je les multiplié par une autre matrice et je suis tombé sur une matrice d'ordre 2 appartenant à l'ensemble E. Mais, je pense que ce que j'ai fait est un exemple et non une preuve pour répondre à la question...

J'espère avoir été clair...
Merci d'avance.

Pour la stabilité pour la multiplication des matrices dans E , utilise le même principe que pour la stabilité par combinaison linéaire.

$a=\left( a_1\ a_2\0\ \ a_4\right)$

$b=\left( b_1\ b_2\0\ \ b_4\right)$

Tu calcules A x B avec la méthode usuelle.

Tu trouves :

$a \times b=\left( ...\ ...\0\ \ ...\right)$

donc

$\times b \in e$

D'accord, c'est ce dont j'avais pensé merci à vous !

II.

Soit $\begin{pmatrix} a &c \ 0 &b \end{pmatrix}$ ∈ E

(a) On suppose a ≠ b. Démontre que ∀p ∈ $N^*$ , $0amp;bp)a^{p} = \begin{pmatrix} a^{p} &c\frac{a^{p}-b^{p}}{a-b} \ 0 & b^{p} \end{pmatrix}$

ça c'est OK, j'ai fait une récurrence.

(b) On suppose que a = b. Calculer $A^p$ pour p ∈ $N^*$ ; on exprimera les coefficient de a et c.

ça aussi c'est OK normalement.

Pour tout n ∈ $N^*$ , on pose $B_n$ = $0amp;βn)\sum{\frac{1}{p!}}a^{p} = \begin{pmatrix} \alpha _{n} & \gamma _{n}\ 0& \beta _{n} \end{pmatrix}$ en convenant que $A^0$ = $I_2$ et pour tout x réel,

φ $_n$ (x) = 1 + x/1! + x²/2! +....+ $x^n$ /n! = ∑ $x^k$ /k!

(a) Rappeler l'inégalité de Taylor - Lagrange avec ses hypothèses.
Ça c'est ok, c'est du cours.

(b) Démontrer que, pour tout x fixé, la suite de terme général φ $_n$ (x) converge et que sa limite est $e^x$ .
Pour cette question, j'ai appliqué la démonstration que nous avions fait en sup (1 ère année) sur le cours des séries.

(c) On suppose a ≠ b.
Calculer α $_n$ , β $_n$ et γ $_n$ en fonction a, b, c, φ $_n$ (a) et φ $_n$ (b). Démontrer que les suites (α$$_n$)_n $, (β$ $_n$ )_n$ et (γ$$_n$)_n$ ont des limites respectives α, β, γ que l'on calculera.
J'ai trouvé qqchose aussi là.

Pour tout A = (la même matrice qu'au début) ∈ E, on pose A' = $β)\begin{pmatrix} \alpha &\gamma \ 0 & \ \beta \end{pmatrix}$ , où α,β et γ ont été définis à la question II. 2, et on note f l'application de E dans E définie par f(A) = A'.

(a) L'application f est-elle linéaire ?
J'ai d'abord vérifié que f(0) = 0, f(λB) = λf(B), et f(B+C) = f(B) + f(C). C'est bien égale.
Maintenant, je veux le montrer que f est une AL.
J'ai écrit cela,
Soient λ, μ ∈ $mathbb{R}$
$\begin{pmatrix} a_{1} &a_{2} \ 0 & a_{3} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} b_{1} &b_{2} \ 0 & b_{3} \end{pmatrix}$

Mq f(λA + μB) = λf(A) + μf(B)

$0amp;λa3+μb3)f(\begin{pmatrix} \lambda a_{1}+\mu b_{1} &\lambda a_{2} + \mu b_{2} \ 0 & \lambda a_{3} + \mu b_{3} \end{pmatrix}$ =

Puis, l'étape d'après, il faut appliquer f... C'est bizarre, mais c'est là ou je bloque... Peut-être que je me suis trompé dès le début ? Mais je ne pense pas, vu que c'est toujours la même chose le début...

En attente de pistes, j'espère avoir été clair...
Merci.

Si tu as démontré que pour tout B et tout C :
f(λB)=λf(b) (propriété i)
f(B+C)=f(B)+f(C) (propriété ii),
en appliquant la définition usuelle, f est linéaire (ça doit être dans ton cours)

Tu n'as rien d'autre à faire pour justifier que f est linéaire.

Si tu veux calculer f(λB+μC), il te suffit d'utiliser les deux propriétés i et ii que tu as démontrées.

Avec ii

$f(λb+μc)=f(λb)+f(μc)f(\lambda b+\mu c)=f(\lambda b)+f(\mu c)$

Avec i

$f(μc)=μf(c)f(\lambda b)=\lambda f(b) \ f(\mu c)=\mu f(c)$

D'où

$f(λb+μc)=λf(b)+μf(c)f(\lambda b+\mu c)=\lambda f(b)+\mu f(c)$