Arithmétique - Nombre de diviseurs

Bonjour j'aurais besoin de votre aide sur cet exo :
a et b sont deux entiers naturels et $N=2^a$ × $3^b$ et tels que le nombre des diviseurs de $N^2$ est le triple du nombre des diviseurs de N.
1)prouvez que (a-1)(b-1)=3
2) Deduisez-en les valeurs de N.
Merci d'avance.

Bonjour,

Piste,

$n=2a×3bn=2^a\times 3^b$

le nombre de diviseurs de N est (a+1)(b+1)

$n2=22a×32bn^2=2^{2a}\times 3^{2b}$

le nombre de diviseurs de N² est (2a+1)(2b+1)

Tu as donc l'égalité :

$(2 a + 1) (2 b + 1) = 3 (a + 1) (b + 1)$

Tu développes, tu simplifies et tu dois trouver, sauf erreur

$a b - a - b + 1 = 3$

Tu vérifies que (a-1)(b-1)=ab-a-b+1, d'où la réponse souhaitée.

Cette égalité démontrée te permet de trouver les valeurs possibles de a et b, puis de N.

Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification.

J'ai compris a=2;b=4 ou a=4;b=2.
Les valeurs de N sont donc: $N=2^2$ × $3^4$ ou $N=2^4$ × $3^2$ .Merci beaucoup.

C'est bon.

Bien sûr, termine les deux calculs pour expliciter les deux valeurs de N trouvées.