Conjecture et démontrer par récurrence l'expression d'une suite

Bonjour à tous;

J'aurais besoin de votre aide sur cet exercice:

"La suite $U_n$ )est définie par $U_0$ =3 et pour tout entier naturel n, $U$ _{n+1} $U_n$ +4"

1)Déterminer $U_1$ à $U_5$ et conjecturer l'expression de $U_n$ en fonction de n.
2) Démontrer cette conjecture par récurrence.

Pour $U_1$ j'ai trouvé 1; $U_2$ =3 $U_3$ =1 $U_4$ =3 et $U_5$ =1 mais pour conjecturer en fonction de n je suis bloqué.

Pourrais-je avoir de l'aide s'il vous plait pour finir cette exo.

Merci

Bonjour,

D'après les valeurs que tu as trouvées, tu peux conjecturer que :

Pour n impair, $U_n$ =1

Pour n pair, $U_n$ =3

C'est cette conjecture qu'il faut que tu prouves par récurrence.

Je n'est pas bien compris, je dois donc faire deux récurrence ?

Effectivement, tu peux distinguer le cas n pair et le cas n impair.

Par exemple, pour n pair :

Initialisation $U_0$ =3

Transmission ( on dit aussi hérédité)

Tu supposes que pour une valeur de n naturelle paire : $U_n$ =3

Tu démontres que $U_{n+2}$ =3

Si j'ai bien compris la récurrence à faire est pour (Pn): $U_n$ =3 ?

Et pourquoi $U_{n+2}$ =3 ?

Dans la réponse que je t'ai proposée,n est pair.

Le naturel pair qui suit n est n+2

Exemple pour comprendre : si n=10, n+2=12

Cas où n est pair
Pour faire le calcul de $U_{n+2}$ , tu exprimes $U_{n+2}$ en fonction de $U_{n+1}$
Ensuite, tu remplaces $U_{n+1}$ par son expression en fonction de $U_n$ , tu simplifies et tu remplaces $U_n$ par 3

(Tu pourras traiter exactement de la même façon le cas où n est impair.)

Bonjour
Conjecturé l'expression de $U_n$ en fonction de n:
$U$ _n $1)^n$ +2.
C'est ce qu'il faut démontrer par récurrence a la deuxième question.

Je ne vois guère l'intérêt d'une nouvelle récurrence....

un raisonnement direct suffit, en utilisant les réponses de la première question.

Pour n pair :

$1)^n+2=1+2=3=u_n$

Pour n impair :

$1)^n+2=-1+2=1=u_n$

Conclusion :

Pour tout n de N : $1)^n+2=u_n$

Remarque: s'il faut vraiment que tu fasses une récurrence, pour l'hérédité, utilise la propriété de départ : $u_{n+1}=-u_n+4$

Deuxième question :
Soit $P_n$ la propriété :

Initialisation :
Si n=0, $U$ 0 $1)^0$ +2=1+2=3
$P_n$ est vraie au rang premier.
Hérédité :
Supposons qu'elle est vraie au rang n.
$U$ {n+1} $U_n$ +4
$1)^n$ +2]+4
$1)^n$ -2+4
$1)^n$ +2
=-1× $1)^n$ +2
$1)^{n+1}$ +2.
$P_n$ ⇒ $P_{n+1}$ .
D'après le principe du raisonnement par récurrence pour tout entier naturel n, $U$ _n $1)^n$ +2.

C'est bon. Bravo !