Etudier la croissance d'une suite et trouver son expression et sa limite

Bonsoir, j'ai un petit problème avec cette exercice, je n'arrive pas à le résoudre si vous pourriez bien m'aider s'il vous plaît, merci :

énoncé : U0 > 0
Un+1 = (Un)²

a) Montrer par récurrence que si U0 > 1 alors Un>1. En déduire que la suite Un est croissante
b) Montrer par récurrence que si U0 < 1 alors Un<1. En déduire que la suite Un est décroissante.
c) Que dire si U0 = 1 ?

Exprimer u1 et u2 en fonction de u0. En déduire l'expression de Un. Démontrer votre résultat.
Déterminer la limite de Un selon les valeurs de U0

Bonsoir,

Quelque pistes pour démarrer,

1)a)

L'initialisation est "évidente"

Pour l'hérédité

$U_n$ > 1 => $U_n$ )² > 1² => $U_n$ )² > 1 => $U_{n+1}$ > 1

Pour la conséquence relative au sens de variation, tu peux déterminer le signe de $U$ _{n+1} $U_n$

$U$ _{n+1} $- U$ _n $U_n$ )² $- U$ _n $= U$ _n $U_n$ -1)

Tu détermines le signe du produit de facteurs et tu tires la conclusion.

a) Initialisation : Vérifions que Un est vraie avec une valeur n=0
u1 = U0²
= 2²
Un est vraie

Hérédité :
Un > 1 => (Un)² > 1² => (Un)² > 1 => Un+1 > 1

Conclusion : Pour tout n appartenant à N si et seulement si u0 > 1 alors Un > 1

Un+1-Un=(Un)²-Un=Un(Un-1)
Un(Un-1)>0 puisque un>1

Initialisation : Vérifions que Un est vraie avec une valeur n=0
u1 = U0²
= 0²
Un est vraie

Hérédité :
Un < 1 => (Un)² < 1² => (Un)² < 1 => Un+1 < 1

Conclusion : Pour tout n appartenant à N si et seulement si u0 < 1 alors Un < 1

Un+1-Un=(Un)²-Un=Un(Un-1)
Un(Un-1) < 0 car Un < 1

Est-ce bien cela ? merci

Pour le 1), l'idée est bonne.

Quelque points à voir.

Pour les initialisations, si l'énoncé te précise que n ∈ N, il suffit de donner à n la valeur 0 (ce n'est pas la peine d'utiliser U1)

Pour le 1)a) , effectivement, vu que $U_n$ > 1 nécessairement $U_{n }$ > 0 donc $U$ n $U_n$ -1) > 0 donc $U$ {n+1} $U_n$ > 0 donc $U_{n+1}$ > $U_n$ donc suite croissante

Pour le 1)b) ( tu as mis 2, mais je suppose que c'est une erreur), ce que tu indiques n'est pas suffisant.
Il faut que tu justifies pourquoi Un > 0 (pour pouvoir trouver $U$ _n $U_n$ -1) < 0

D'accord

c) U0 = 1 La suite est ni croissante ni décroissante
2. u1 = (U0)²
u2 = (U0)²
Un+1 = (un)²
Racine carré de Un+1 = un

Pur le c), tu peux dire que la suite est constante.

Revois le 2

$U$ _1 $U0)^2$

Attention à $U_2$

$< s t r o n g > U$ _2 $= (U$ _1 $)$ ^2 $= ((U 0)$ ^2 $)$ ^2 $= (U$ _0 $^4$

Pour conjecturer la formule générale (que tu démontreras après), continue de calculer $U_3$ , $U_4$ ,... en fonction de $U_0$

U3 = (u0^4)^2
U4 = (u0^8)^2 etc...

oui, mais transforme un peu avec les propriétés des puissances pour arriver à conjecturer une expression générale.

$u_3 =(u_0)^8 \ \ u_4 =(u_0)^{16}$

Ensuite, tu trouves

$u_5=(u_0)^{32} \ \ u_6=(u_0)^{64}$

etc

Observe les exposants obtenus qui sont des puissances de 2

$8=2^3\ \ 16=2^4\ \ 32=2^5\ \ 64=2^6\ \ etc$

Avec tous ces éléments, tu dois pouvoir conjecturer l'expression de $u_n$

Un = (U0)^2

non...observe mieux

A chaque prochain terme on ajoute "^2"
donc Un = (U0)^2n

Presque mais pas tout à fait.

L'exposant de $U_0$ doit être $2^n$

$u_n=(u_0)^{2^n}$

Il te reste à faire une récurrence pour le démontrer mathématiquement.

Très bien, donc pour les limites lorsque/
U0 > 1 limite Un = + l'infini
U0 < 1 limite Un = - l'infini
U0 = 1 limite Un = 1

Est-ce cela ? merci

Pour $U_0$ > 1, c'est exact

Pour $U_0$ = 1, c'est exact

Pour 0 < $U_0$ < 1, c'est inexact

Limite de Un lorsque U0 = 1 est ]0;1[ mais je ne vois pas comment l'écrire

Je ne comprends pas ce que tu veux dire dans ton dernier message ....

Pour $U_0$ =1, tu as justifié précédemment que dans ce cas, la suite est constante.

Donc, pour tout n de N, $U$ _n $U_0$ =1

La limite est donc forcément égale à 1

$\fbox{\lim_{n\to +\infty}u_n=1}$

Pour 0 < $U_0$ < 1, la réponse que tu as proposée (-∞) ne peut pas être exacte vu que tu as prouvé précédemment que pour tout n de N, $U_n$ est positif.

Regarde ton cours sur " fonction exponentielle"

D'accord vu que Un est positir la limite de Un, pour 0 < U0 < 1,
Lim Un = 1

non.

0 < U0 < 1, si tu utilises les propriétés de la fonction exponentielle, lorsque n tend vers +∞, la limite de $U_n$ sera 0