Application- Complexes

[issanui]

Bonjour !
J'aurais besoin d'aide sur cet exercice.
Exercice : Le plan est muni du repère orthonormé (o,i,j).
On considère l'application affine f de P dans P qui a tout point M(x;y) associe le point M'(x';y') telles que :
{x'=(-6/5)x+(8/5)y-8/5
{y'=(8/5)x+(6/5)y-1/5.

1)a. f est-elle bijective ? Justifier
b.Déterminer l'ensemble des points invariant par f.
c. Quel est l'image de la droite d'équation y=2x+1.
2)On désigne par M(x;y) le point d'affixe z et par M' le point d'affixe z' où z et z' sont deux nombres complexes.
a) Sachant que f(M)=M', exprimez z' en fonction de z.
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.
Merci d'avance.

[mtschoon]

Bonjour,

Piste pour démarrer,

1)a) f est bien une application de P dans P vu que tout M(x,y) a bien une image M'(x',y') par f

Pour savoir si f est bijective, il faut que tu saches si tout M'(x',y') a bien un antécédent M(x,y) par f

Pour cela, détermine x et y en fonction de x',y'.

Sauf erreur, tu dois trouver :

$x=\frac{-3x^{\prime }+4y^{\prime }-4}{10}$

$y=\frac{4x^{\prime }+3y^{\prime }+7}{10}$

f est donc bien une bijection de P vers P

Fais ces calculs et essaie de poursuivre.

[issanui]

J'ai trouver l'ensemble des points invariant par f est {M(0;1)}.

[mtschoon]

C'est bien ça

[issanui]

Pour l'image de la droite droite d'équation y=2x+1 ça me semble difficile.

[mtschoon]

Dans la relation y=2x+1, remplace x et y par les expressions en fonction de x' et y' trouvées au 1)a)

Après calculs et simplifications, tu dois obteniry'=2x'+1

C'est donc la même droite : cette droite est globalementinvariante par f
( le point invariant (0,1) lui appartient) )

[issanui]

Oui, j'ai compris.
Pour 2)a
z'=(-6/5 - (8/5)i)z barre -8/5 -(1/5)i.

[mtschoon]

Pour le 2)a), l'idée est la bonne mais vérifie les signes relatifs au coefficient de $\overline{z}$

J'ai l'impression qu'il y a une faute (mais j'ai fait vite...)

[issanui]

Oui, le coefficient de z barre est (-6/5 +(8/5)i).

[mtschoon]

C'est bien ça maintenant.

[issanui]

z'-i=(-6/5-(8/5)i)(z-i) barre
Je n'ai jamais rencontré ce genre de transformation.

[mtschoon]

J'ignore ce que dit ton cours...

La forme complexe de f est :

$z^{\prime }=a\overline{z}+baveca=\frac{-6+8i}{5}etb=\frac{-8-i}{5}$

f est la similitude indirecte de centre Ω (d'affixe i) (le point invariant), composée de l'homothétie de centre Ω et de rapport |a| et de la symétrie orthogonale d'axe (D)(droite d'équation y=2x+1, globalement invariante)

Si tu ne l'a pas vu en cours, aide toi des questions précédentes.

Tu peux aussi faire des recherches sur "similitude indirecte" sur le web.

[issanui]

Merci beaucoup :)et bonne journée !

[mtschoon]

De rien et bon travail !