Complexes. équation du 4ème degré

[Anabelle2110]

On considère l'équation (E) : z⁴+5z³-4z²+5z+1=0

1. Résoudre dans C les équations : a) z+(1/z)=-6 b) z+(1/z)=1
2. On pose : Z= z+(1/z)
   Montrer que z est solution de l'équation (E) si et seulement si Z est solution de l'équation Z²+5Z-6=0
3. Résoudre dans C l'équation (E)

Voici ce que j'ai fais :

1. a) z+(1/z)=-6
   ⇔z+(1/z)+6=0
   ⇔ z²/z + 1/z + 6z/z= 0
   ⇔ z²+6z+1=0
   Delta = 6²-411
   =36-4
   =32
   z1=( -6-√32)/2 = -3-√8
   z2= -3+√8
   b) z+(1/z)=1
   ⇔ z+(1/z) -1=0
   ⇔ z²/z +1/z-z/z=0
   ⇔ z²-z+1 = 0
   Delta= -1²-411
   =1-4
   = -3
   z1=1/2 - √3i/2
   z2= 1/2 +√3i/2

2. Z²+5z-6 = 0
   ⇔ (z+1/z)²+5(z+1/z)-6=0
   ⇔ z²+2+1/z² + 5z+5/z-6=0
   ⇔ (z⁴/z²)+(5z³/z²)-(4z²/z²)+(5z/z)+1/z=0
   ⇔ z⁴+5z³-4z²+5z+1=0
   Donc z est solution de l'équation (E) si et seulement Z est solution de l'équation Z²+5z-6=0

3)J'ai trouvé que Z a les mêmes solutions que z+1/z soit 6 et 1 donc les solutions de l'équation (E) sont S= (-3-√8) (-3+√8) (1/2-√3i/2) (1/2+√3i/2)
pour cette question je ne suis pas très sûre...
pourriez vous me donner vos avis svp ?

[mtschoon]

Bonsoir,

C'est bon (mais précise la condition z≠0)

[Anabelle2110]

daccord merci beaucoup

[mtschoon]

De rien .

A+