Déterminer les coordonnées et forme trigonométrique dans le plan complexe

Bonjour !
J'aurais besoin de votre aide sur cet exercice.
Soit f l'application de E= $c-{-i} dans c$ définis par
$\rightarrow f(z)=\frac{iz}{z+1}$

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (o,i,j) on note M le point d'affixe z.

Déterminer les coordonnées du point B dont $z_o$ est telle que $f(z_o$ )=1+2i.
J'ai trouvé $z_o$ =(1/2)-(3/2)i cela veut dire B(1/2;-3/2).
Soit z un élément de E.On note $r$ le module de $z + i$ et $p$ une mesure de son argument.
Exprimez la forme trigonométrique de $f (z) - i$ en fonction de $r$ et de $p$ .
3)Soit A le point d'affixe -i.
a)Déterminer l'ensemble (C) des points M vérifiant $∣f(z)−i∣=2|f(z)-i|=\sqrt 2$ et l'ensemble (D) des points M tels que π/4 soit une mesure principal de l'argument de $f (z) - i$ .
b)Montrer que B ∈ (C) et (D).

Bonjour,

Quelque chose est bizarre dans l'énoncé que tu donnes.

Avec le f(z) qui tu indiques, la condition d'existence est z+1≠0, c'est à dire z≠-1

Alors, f est une application de C-{-1} dans C et non de C-{-i} dans C

? ? ?

Merci de vérifier.

Vous m'excusez, c'est exactement C-{-1}.

D'accord.

Revois $z_0$ ; Il doit y avoir des confusions.

$f(z_o$ )=1+2i ⇔ $i z$ _o $z_o$ +1)(1+2i)
⇔ $i z$ _o $= z$ _o $2iz_o$ +1+2i
⇔ $1+i)z_o$ =-1-2i
⇔ $z_o$ = $(−1−2i)(1−i)2\frac{(-1-2i)(1-i)}{2}$
= $−1+i−2i−22\frac{-1+i-2i-2}{2}$
= $−32−12i-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$

Ta dernière réponse est bonne.

Je regarde l'énoncé de la 2) et je suis perplexe.

Es-tu sûr(e) qu'il s'agit du module et de l'argument de $z + i$ ?

Toute mes excuses,je viens de regarder l'énoncé
J'ai fais trop de faute.
f est définis de C-{-i} dans C.
$\rightarrow f(z)=\frac{iz}{z+i}$
$z_o$ =(1/2)-(3/2)i

Avec ce nouvel énoncé écrit, $z_0$ est bon.

$f(z)−i=izz+i−if(z)-i=\frac{iz}{z+i}-i$
= $1z+i\frac{1}{z+i}$

$∣f(z)−i∣=∣1z+i∣|f(z)-i|=|\frac{1}{z+i}|$
= $1∣z+i∣\frac{1}{|z+i|}$
= $1r\frac{1}{r}$

$arg(f(z)−i)=arg(1z+i)arg(f(z)-i)=arg(\frac{1}{z+i})$
= $- a r g (z + i)$
= $- p$
D'où :
$f(z)−i=1r(cos(−p)+isin(−p))f(z)-i=\frac{1}{r}(cos(-p)+isin(-p))$

c'est bon pour la forme trigonométrique de f(z)-i

Bonjour !
Pour 3.a
$‘ ∣ f (z) - i ∣ =$ √2⇔⇔ $1r=\frac{1}{r}=$ √2
⇔ $r =$ √2/2
D'où l'ensemble (C) des points M est le cercle de centre O et de rayon √2/2.
$a r g (f (z) - i) =$ π/4+2kπ⇔ $- p =$ π/4+2kπ
⇔ $p =$ -π/4-2kπ.
Soit B(1-i) l'ensemble (D) des points M est la demi droite [OB).

C'est bon pour le rayon du cercle (C) . Le centre est à revoir.

(D) est à revoir.
De plus, tu ne peux pas utiliser le point B dans la construction de (D) vu que B est demandé à la question suivante.

Pour trouver (D), fais l'interprétation géométrique de $(2π)arg(z+i)=p=-\frac{\pi}{4}\ (2\pi)$

Excuses
$r =$ |z+i|=√2/2⇔ $x$ ^2 $y+1)^2$ =1/2.
L'ensemble (C) des points M est donc le cercle de centre F(0,-1) et de rayon √2/2.
Est-ce que c'est bon comme ça.

Oui pour (C)

Même sans passer par la forme analytique, tu aurais pu simplement interpréter le module de (z+i)

$∣z+i∣=22↔∣z−(−i)∣=22↔am=22|z+i|=\frac{\sqrt 2}{2} \leftrightarrow |z-(-i)|=\frac{\sqrt 2}{2}\leftrightarrow am=\frac{\sqrt 2}{2}$

(C) cercle de centre A et de rayon $22\frac{\sqrt 2}{2}$

Pour 3.b
$z_o$ +i= $12−32i+i\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i+i$
= $12−12i\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$
| $z_o$ +i|= $∣12−12i∣|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i|$
=√2/2
D'où B ∈ (C)
Pour l'argument aussi.
Merci beaucoup pour votre aide et bonne journée !

De rien !

J'espère que tu as déterminé (D) correctement en utilisant un argument de (z+i), et trouvé :
"demi-droite d 'origine A (d'affixe -i) et faisant l'angle de mesure -π/4 avec le vecteur $i⃗\vec{i}$ de l'axe des réels".

Exactement tout marche lorque j'ai fais le graphe .

C'est bien.

Bonne soirée !