Naturels différents de 2.Diviseurs

Bonjour,

Soit N un entier naturel et M= N+2

soit d un entier naturel diviseur commun à M et à N. Quelles sont les valeurs possibles de M et N ?
Soit M et N deux entiers impairs consécutifs. Montrer que le seul diviseur commun positif est à M et N est 1
Voici ce que j'ai fait mais je n'arrive pas à terminer..
Si d/M et d/N alors d/M+N
Il existe aussi un entier k et un entier k' tel que M=dk et N=dk' donc M+N= dk+dk'= d(k+k')
est-ce pour l'instant correct ? je n'arrive pas à avancer plus que cela..
Soit 2n+1 un entier impair et l'entier impair suivant 2n+3
Donc 2n+3=(2n+1)1 + 2
2n+1=2n + 1
2n=1*2n ?

Bonjour,

Je regarde tes débuts,

Effectivement, déterminer M+N n'aboutit pas

Pense à déterminer M-N

Tu en déduiras les valeurs possibles de d et tu en tireras les conclusions.

Si d/M et d/N alors d/M-N ⇔ d/N+2-N ⇔ d/2
Donc les diviseurs possibles de 2 sont -2 ,-1,1,2
Or d est un diviseur qui appartient à N donc d = 1 ou d=2
Alors les valeurs possibles de M et N sont 1 et 2 ?

C'est exact pour d=1 et d=2

Il te reste à revoir les conclusions à tirer sur M et N

On sait que M-N=2 alors M≥N
M=4 N=2
M-N=2
De plus 4 est divisible par 2 et 2 divisible 2
Donc M=4 et N=2?

Ce que tu indique est seulement un exemple.

Raisonne de façon générale.

d diviseur de M et N veut dire que M et N sont multiples de d

Pour d=2, M et N sont multiples de 2 donc ...

Pour d=1, M et N sont multiples de 1 donc ...

Tu tires ensuite la conclusion finale pour répondre à la question "Quelles sont les valeurs possibles de M et N "

Pour d=2 M et N sont des multiples de 2 ⇔ M=2k et N=2k'⇔ d/M-N⇔ d/2k-2k'⇔ d/2(k-k')
Pour d=1 M et N sont des multiples de 1⇔ M=1k et N=1k' ⇔ d/1(k-k')

Les conclusions à tirer ne sont pas sur d mais sur M et N

Pour d=2, M et N sont des naturels pairs, avec la condition M=N+2

Pour d=1, M et N sont desnaturels (donc pairs ou impairs), avec la condition M=N+2

Il te reste à répondre à la question "Quelles sont les valeurs possibles de M et N ? "

cela veut dire que les valeurs possibles pour M et N sont tout entier naturel qu'il soit pair ou impair ?

Oui, à une précision près.

N peut prendre toute valeur naturelle

N ≥0 donc N+2 ≥ 2 donc M ≥ 2

M peut prendre toute valeur naturelle supérieure ou égale à 2

Ah d'accord merci beaucoup pour votre aide sincèrement
Concernant le 2) est-ce bon ce que j'ai fait svp ?

Ce que tu as fait pour la 2) ne semble pas aboutir...

Utilise la travail fait à la 1) pour conclure pour la 2)

Soit M et N deux entiers impairs consécutifs

Si 1 divise M et N cela veut dire que M et N sont des multiples de 1 donc des naturels impairs
mais je dois écrire M et N de la forme 2p+1 et 2p+3 nn?

Ton raisonnement ne va pas.

Tout naturel est multiple de 1, pas seulement les naturels impairs...

Utilise ce qui a été fait dans la question 1) : d vaut 1 ou 2

d=1 convient, que M et N en soient pairs ou impairs.

d=2 convient seulement lorsque M et N sontpairs (car multiples de 2)

Il te reste à déduire la conclusion lorsque M et N sont impairs (nécessairement "impairs consécutifs" vu que leur différence est de 2)

Lorsque M et N sont impairs le diviseur commun ne peut donc être que 1 puisque d=2 concerne seulement les entiers pairs

oui.

merci bonne soirée à vous

De rien et bonne soirée à toi !

merci !