3. matrice-lois de probabilités

matrice-lois de probabilités

  • S

    bonjour j'ai un petit soucis avec mon dm de spe

    je vous ecrit le sujet et vous explique mes problemes :

    l'objet de ce probleme est d'etudier l'evolution a long termes d'un systeme a 2 etats {-1;1}
    On supose que le systeme ne change pas d'etat avec une probabilité p€]0;1[ et change d'etat avec une probabilité q= 1-p
    pour n€N, on note Xn l'etat du systeme au bout de n changement que l'ont supose independant.
    Xn est donc une variable aléatoire qui prend pour valeur -1 et 1
    on supose que le systeme est initialement dans l'etat 1, ce qui s'exprime par X0=1
    on pose, pour tout entier naturel n, Un la matrice colonne:

    Un= (p(Xn=-1))
    (p(Xn=1))
    et la matrice V =( -1 1)

    voila le sujet maintenant je vous ecrit les question auquel j'ai des difficulter:

    1. verifier que pour tout n, VUn= E(Xn). E(Xn° etant l'esperance de Xn
      En deduire que E(Xn+1)= (2p-1)E(Xn) puis la valeur de E(Xn) en fonction de n
      Quel est la limite de E(Xn)

    alors je n'arive pas a la deuxieme partie de l'exercice C'est a dire a partir de trouver la valeur E(Xn) en fonction de n et trouver ça limite

    1. on pose p1(x)=x^n et p2(x)= x²-2px+2p-1

    determiner les racine de p2
    on sait que R est de degres inferieur ou egale a 1donc de la forme R(x)= ax+b
    en utilisans les racine de p2 ecrire un systeme a 2 equation dont a et b sont les inconnue et le resoudre

    alors ici j'ai trouver les racine de p2 qui sont 1 et 2p-1 mais je ne sait pas comment trouver le systeme.

    1. determiné en fontion de n la loi de Xn
      determiné les limites de p(Xn=-1) et P(Xn=1)

    ici je n'est aucune idée

    merci de vos reponses et d'avoir pris le temps de tout lire

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonsoir,

    Je regarde un peu mais ce n'est pas très clair...

    Pour la fin de la 1) où tu bloques, tu peux utiliser les suites géométriques.

    (E(Xn) ) est la suite géométrique de 1er terme E(X0)=1 et de raison (2p-1)

    Donc : e(xn)=(2p−1)ne(x_n)=(2p-1)^ne(xn​)=(2p−1)n

    0 < p < 1 => 0 < 2p < 2 => -1 < 2p-1 < 1

    Tu peux ainsi trouver la limite de E(Xn) (voir cours sur suite géométrique)

    Pour la 2), OK pour les racines de p2p_2p2​

    Mais tu n'as peut-être pas écrit tout l'énoncé, car on ne sait pas de quoi il s'agit, ni ce que représente R ...

    S 1 réponse
  • S

    merci beaucoup j'ai reussie pour la 1)

    pour la 2) j'ai réussi grace a l'aide de mes camarade

    mais pour la 3) on sèche tous ( j'ai été en contact avec 3 de mes camarade et a 4 nous n'avons pas réussie alors que l'on a passer presque toute l'apres midi dessus ...)

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Pour la 3), il est sans doute possible d'utiliser la 2) mais, comme déjà dit, ce que tu as écrit est incomplet et j'ignore de quoi il s'agit...

    Piste pour la 3,

    Soit
    p(xn=−1)=a p(xn=1)=bp(x_n=-1)=a \ p(x_n=1)=bp(xn​=−1)=a p(xn​=1)=b

    a+b=1(somme des probabilités)

    En explicitant E(Xn) qui a été calculée à la 1) :(−1)a+(+1)b=(2p−1)n(-1)a+(+1)b=(2p-1)^n(−1)a+(+1)b=(2p−1)n

    Pour trouver a et b (d'où la loi de probabilité de Xn), il te suffit de résoudre le système :

    $\left{ a+b=1\-a+b=(2p-1)^n\right$

    (peut-être que de système a déjà été résolu à la 2)... vérifie)

    Pour les limites, sauf erreur, tu dois trouver 12\frac{1}{2}21​

    Bon travail.

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