Valeurs propres d'une matrice 3x3

Bonjour,
Je suis en train de refaire un exemple du cours, mais je bloque sur une partie nécessaire pour la suite et fin d l'exemple.
$−2amp;2amp;1)\begin{pmatrix} 0& 2& -1\ 3 & -2& 0\ -2& 2 & 1 \end{pmatrix}$

En faisant det(A- $λ\lambda$ I3) = $−2amp;2amp;(1−λ)∣\begin{vmatrix} (0-\lambda )& 2& -1\ 3 & (-2-\lambda )& 0\ -2& 2& (1-\lambda ) \end{vmatrix}$

Puis la phrase qui me pose problème :

Les valeurs de lambda qui font que det(A- $λ\lambda$ I)= 0

$λ1=1λ2=2λ3=−4\lambda 1= 1 \lambda 2= 2 \lambda3=-4$

... au total 6 matrices diagonales possible

Merci pour votre explication.

Bonjour dut,

Les valeurs possibles pour λ sont bien, 1; 2 et -4.

Merci Noemi,
Le problème c'est que je ne comprends pas comment sont trouvées les réponses.

Combien as tu trouvé pour le déterminant ?

Le det(A-λ) = ......

aucune idée, les lambda me bloquent....

Comment calcule t-on un déterminant d'une matrice 3x3 ?

j'utilise Sirus

-2lamb - lamb^3 -6 +(-4-2lamb) + (6-6lamb)

Vérifie le calcul, tu dois trouver :
-λ³ -λ² + 10λ - 8

d'accord
mais le résultat d'en haut est le déterminant? car il n'est pas simplifiable.

et donc avec ça comment faire pour trouver:
Les valeurs de lambda qui font que det(A-\lambda I)= 0

\lambda 1= 1 \lambda 2= 2 \lambda3=-4

Comme λ = 1 est une racine évidente, tu factorises le polynôme (λ-1) puis tu résous l'équation du second degré.

désolé je bloque c'est trop abstrait je n'arrive pas à me représenter.

je ne comprends pas comment trouver les valeurs propres

Tu résous l'équation :
-λ³ -λ² + 10λ - 8 = 0

Une racine évidente 1

Bonjour,

Quelques calculs pour essayer de débloquer ta situation DUT.

En développant de déterminant Det(E-λ $I_3$ ) comme tu l'as fait, tu te retrouves à résoudre une équation du 3ème degré...
Comme te l'a dit Noemi, c'est tout à fait possible vu qu'il y a une solution "évidente", mais pas possible si tu ne connais pas la méthode....

Comme Det(E-λ $I_3$ )=0 une équation d'inconnue λ, au lieu de développer systématiquement, essaie defactoriser le plus possible

Une remarque ; ce n'est pas la règle de sirus, mais de Sarrus

Je te fais le calcul en développant la première ligne du déterminant

(Comme il s'agit d'une matrice 3x3, Sarrus convient mais j'ignore ce que te dit ton cours car il y a deux façons ( en ajoutant les deux premières colonnes à droite, ou en ajoutant les deux premières lignes en dessous)

$\text{det(a-\lambda i_3)=0$

En calculant les déterminants d'ordre 2

$(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−(6+2(−2−λ))=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-(6+2(-2-\lambda))=0$

$(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−6+4+2λ=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-6+4+2\lambda=0$

$(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−2+2λ=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-2+2\lambda=0$

Observe qu'il y a le facteur (1-λ) dans les deux premières expressions et essaie de le faire apparaître dans la 3ème.

$(−λ)(−2−λ)(1−λ)−2(3)(1−λ)−2(1−λ)=0(-\lambda)(-2-\lambda)(1-\lambda)-2(3)(1-\lambda)-2(1-\lambda)=0$

Tu peux maintenant mettre (1-λ) en facteur

$(1−λ)[−λ(−2−λ−6−2]=0(1-\lambda)[-\lambda(-2-\lambda-6-2]=0$

Tu développes et tu simplifies le second facteur qui sera du second degré seulement et tu trouves

$(1−λ)[λ2+2λ−8]=0(1-\lambda)[\lambda^2+2\lambda-8]=0$

SOLUTIONS :

1er facteur nul $1−λ=01-\lambda=0$ Tu obtiens $λ=1\lambda=1$

2eme facteur nul $λ2+2λ−8=0\lambda^2+2\lambda-8=0$

Equation de second degré que tu résous ( tu as vu ça l'an passé)

Tu obtiens après calculs $λ=2\lambda=2$ ; $λ=−4\lambda=-4$

*Essaie de refaire cela pour t'entraîner.

Ensuite, tu peux refaire le calcul avec la méthode de Sarrus mais avec pour idée de factoriser ( non de tout développer)*

Si tu veux voir (ou revoir ?) la méthode, par identification, de la factorisation d'un polynôme du 3ème degré, connaissant une solution "évidente" tu as un exemple ici.
En principe, on voit cela en 1S, mais dans ton cas, je ne sais pas ...

http://www.mathforu.com/cours-90.html

Bon travail !

Merci beaucoup Mtschoon et Noemi c'est beaucoup plus clair.
Je reprends tout ça ce week-end.
Encore merci.

Bon week-end.

De rien .

A+