fonction limite asymptote étude

Bonjour, je bloque sur un exercice si vous voulez bien m'aider s'il vous plaît :

énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = (ax²+bx+c) / (x²+1)
représentée par C dans le repère suivant

1.Déterminer graphiquement les réels a, b et c en justifiant vos réponses.

2.Montrer que C admet une asymptote horizontale Delta

3.Déterminer les réels alpha et beta tel que :
f(x)= alpha + (Beta*x)/(x²+1)

4.Dresser le tableau de variation complet de f.

5.Déterminer les positions relatives de C et Delta

(a) Montrer que, pour tout réel x, f(x)+f(-x)=6
(b) Que peut-on déduire pour C ?
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = f(|x|)
(a) Déterminer la limite de g en - l'infini
(b) Expliquer comment on peut obtenir la courbe représentative de g à partir de C

Réponses :

c =3 on le trouve grâce au point (0,3)
puis pour a et b
f(1)=(a+b+3)/2=5
f(-1)=(a-b+3)/2=1
on résout l'équation et on trouve : a = 3 ; b = 4

pour le reste je bloque, merci à vous

Bonsoir,

Tu sais donc que $f(x)=3x2+4x+3x2+1f(x)=\frac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$

Piste pour avancer,

Pour le 2) cherche $lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x\to \pm \infty}f(x)$ et tire la conclusion.

f(x) = (3x²+4x+3) / (x²+1)
= (x²(3+(4/x)+(3/x²))) / (x²((x²/x²)+1))

lim 4/x = 0
lim 3/x² = 0

Donc lim f(x) lorsque x tend vers +l'infini = 3/1 = 3
et pour lim f(x) lorsque x tend vers - l'infini = (-3)/(-1) = 3

C'est bon.

Tu peux donc conclure que la droite (Δ) d'équation y=3 (représentée sur le schéma) est asymptote horizontale à la courbe.

Pour la 3), il te suffit de décomposer le numérateur

$f(x)=3x2+3x2+1+4xx2+1=3(x2+1)x2+1+4xx2+1f(x)=\frac{3x^2+3}{x^2+1}+\frac{4x}{x^2+1}=\frac{3(x^2+1)}{x^2+1}+\frac{4x}{x^2+1}$

Tu simplifies la première fraction par (x²+1) et tu tires la conclusion.

Cette transformation te sera utile à la question 5)

Ensuite, tu passes à la question 4) : dérivée, signe de la dérivée, variations de f

Merci à vous pour votre aide !

De rien !

A+