Matrices Méthode pivot / inversion

Bonjour j'essaie de refaire un exercice que j'ai fait faux en classe.
Il s'agit de résoudre par la méthode du pivot le système
2x-3+4z=8
X+5y-2z=5
-x +y+z=4

Je fais :
L2=2L2 -L1
L3=L3+L2
$0amp;6amp;1∣9]\begin{bmatrix} 2 & -3& 4 |8\ 0& 13 & 0 |2\ 0 & 6& 1 | 9 \end{bmatrix}$

Puis L3=L3 -2L2 $−4amp;0amp;−7∣−7]\begin{bmatrix} 2 & -3& 4 |8\ 0& 13 & 0 |2\ -4& 0&-7 | -7 \end{bmatrix}$
Puis L3+2*L1

Etc...
Mais je tourne en rond quand j'arrive à faire apparaître un 0 un autre disparaît.
Merci de m'aider

Bonsoir dut,

essais :
L2 = L2 + L3 et
L3 = L1 + 2L3

Bonjour après votre aide cela me donne:

$0amp;−1amp;6∣0]\begin{bmatrix} 2& -3&4 |8 \ 0& 6&1 |9 \ 0& -1 & 6 | 0 \end{bmatrix}$

Le -1 pose problème ça devrait être 0. Et le fait que la valeur toute à droite soit 0 c'est possible étant donné que xvaleur de Z vaut 0?

Tu fais ensuite :
L3 = L2 + 6L3

si je n'ai pas fais d'erreur cela donne:
x= 408/37
y=12
z=9/37

Le 37 est faux.

Le résultat est (1;2;3)

j'ai trouvé:
$0amp;0amp;37∣9∣\begin{vmatrix} 2 &-3 &4 |8\ 0&6 &1 |9 \ 0&0 &37 |9 \end{vmatrix}$

le 37 venant 66 +1
L3=L26L3

vérifie la deuxième ligne c'est 0 6 -1

effectivement c'est bien -1

donc
x= 431/74
y=57/37
z=9/37

J'ai indiqué le résultat à trouver : 1, 2, 3

cela signifie quoi??
x=1
y=2
et z=3????

C'est le résultat que tu dois trouver.

dut
j'ai trouvé:
$0amp;0amp;37∣9∣\begin{vmatrix} 2 &-3 &4 |8\ 0&6 &-1 |9 \ 0&0 &37 |9 \end{vmatrix}$

le 37 venant 66 +1
L3=L26L3

c'est à dire que cette partie est fausse?

Oui le 37 est faux, c'est 35 !!

en refaisant le calcul avec 35 au lien de 37 je trouve
x= -9/5
y= 54/35
z= 9/35

Par contre je ne comprends toujours pas comment je suis censé obtenir 1,2,3

Reprends les calculs,

tu dois trouver :
2x - 3y + 4z = 8
6y - z = 9 et
35z = 105 ( et non 9) !!

pour trouver 35 nous avons fait L2+6L3 = 66 -1=35
si on reprends le meme résonnement 9+60 =9 comment cela peut-il donner 105?

C'est parce que le 0 est faux c'est 16.

Reprend les calculs depuis le début.

Je me déconnecte.
Bonne nuit

Oui je reprends tout depuis le début.

Bonne nuit.

Quelle histoire !

Je me permets, Dut, quelques suggestions; ça devient une habitude...

J'ai l'impression que tu fais des erreurs de calcul mais que, de plus, tu ne maîtrises pas la méthode pour choisir les bonnes combinaisons linéaires et conclure.

Connais-tu vraiment la méthode du pivot?

Si besoin, vu que tu dois tout reprendre à zéro, je t'indique une démarche logique par étapes
Il est indispensable de la comprendre pour arriver au but.

1ere étape

On conserve la ligne L1, qui sert de pivot pour éliminer l'inconnue x des autres lignes, c’est à dire pour obtenir "0" au début de L2 et L3

Pour cela, on fait des combinaisons linéaires de L2 et L3 avec le pivot L1
Par exemple :

L1
L2 = 2L2-L1
L3 = 2L3+L1

On obtient ainsi

$\left|2\ -3\ \ 4\ |\ 8\ \ 0\ 13\ -8\ |\ 2\0\ -1\ \ \ 6\ |\ 16\right|$

2eme étape

On conserve la ligne L1

On conserve la ligne L2, qui sert de nouveau pivot pour éliminer l'inconnue y de la dernière ligne L3, c’est à dire pour obtenir "0 0" au début de L3

Pour cela, on fait une combinaison linéaire de L3 avec le pivot L2

Par exemple

L1
L2
L3 = L2+13L3

On obtient ainsi

$\left|2\ -3\ \ 4\ |\ 8\ \ 0\ 13\ -8\ |\ 2\0\ \ 0\ \ 70\ |\ 210\right|$

C’est tout.

Le système de départ est donc équivalent à :

$\left{2x-3y+4z=8\0x+13 y-8z=2\0x+0y+70z=210$

Il reste à extraire les solutions (en partant de L3 et en remontant)

Avec L3 : $z=21070=3z=\frac{210}{70}=3$
En remplaçant z par 3 dans L2, on obtient $y = 2$
En remplaçant z par 3 et y par 2 dans L1, on obtient $x = 1$

Soit S l’ensemble des solutions du système : $s={\ (1,2,3)\ }$

Bonne réflexion et bons calculs .*

Bonsoir Mtschoon,
En effet quel histoire !
Cette histoire de pivot était un peu floue, ça va mieux maintenant, je suis arrivé à refaire l'exercice sans regarder votre correction, par contre le temps.....
Il faut maintenant que j'essaie de travailler ma rapidité d'exécution.
En tout cas merci beaucoup.

J'ai essayer un exercice avec la méthode du pivot (tout de même différent)

Il faut inverser la matrice Suivante par la méthode du pivot.
$0amp;0amp;3)\begin{pmatrix} 1 &-1 &1 \ 0& 2 &6 \ 0 & 0 &3 \end{pmatrix}$

J'ai trouvé:
$0amp;0amp;1/3∣\begin{vmatrix} 0 & 1/2 & -4/3\ 0& 1/2& -3/3\ 0& 0 & 1/3 \end{vmatrix}$

J'espère que c'est juste, ça changera pour une fois !!!!

NB= j'ai fait une petite fiche pour la méthode du pivot comme ça j'espère moins me tromper bêtement.

La fiche est une très bonne idée.
Tu auras ainsi une synthèse de la méthode que tu pourras revoir facilement.

Pour la matrice inverse ( tu peux remplacer -3/3 par -1) : regarde la remarque de Noemi qui a vu une anomalie dans ta réponse.

Bon travail et bonne semaine !

Bonsoir dut et mtschoon,

Bizarre cette matrice inverse avec une première colonne de 0.

Bonsoir Noemi,

Effectivement !

Merci d'avoir vu l'anomalie.

Espérons que Dut a fait une faute de frappe.

La matrice inverse est :

$0amp;0amp;1/3∣\begin{vmatrix} 1 & 1/2 & -4/3\ 0& 1/2& -1\ 0& 0 & 1/3 \end{vmatrix}$

Bonne soirée.