Nombres complexes - Equation du 3ème degré
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Eelevedeseconde dernière édition par
Bonsoir, j'aimerais avoir de l'aide afin de résoudre cette équation s'il vous plaît,
((z-2i)/(z+2i))^3+((z-2i)/(z+2i))^2+((z-2i)/(z+2i))+1 = 0
Je ne vois pas comment procéder si vous pouvez m'aiguiller, merci
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Bonsoir,
Cette équation est définie pour z≠-2i
Piste pour démarrer,
Changement d'inconnue z=z−2iz+2iz=\frac{z-2i}{z+2i}z=z+2iz−2i
Tu résous l'équation auxiliaire
z3+z2+z+1=0z^3+z^2+z+1=0z3+z2+z+1=0
Pour cela, tu peux facilement factoriser en mettant Z² en facteur dans les deux premiers termes.
z2(z+1)+(z+1)=0z^2(z+1)+(z+1)=0z2(z+1)+(z+1)=0
Tu mets ensuite (Z+1) en facteur et tu continues.
Remarque ; tu peux aussi utiliser la formule de la somme des 4 premiers termes de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison Z, mais ce n'est pas plus simple...
Lorsque tu auras trouvé les solutions en Z de l'équation auxiliaire, tu cherches les solutions correspondantes en z avec la formule z−2iz+2i=z\frac{z-2i}{z+2i}=zz+2iz−2i=z
*Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification. *
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Eelevedeseconde dernière édition par
D'accord merci à vous,
Je factorise par (Z+1) cela fait donc : (Z+1)(1+Z²)
Ensuite, je cherche les solutions correspondantes en z ?
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Oui pour la (Z+1)(1+Z²)
Tu n'as pas encore trouvé les solutions en Z de l'équation
(Z+1)(1+Z²)=0
C'est ce qu'il faut faire d'abord, avant de déduire les solutions en z.
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Eelevedeseconde dernière édition par
Lorsque Z = -1 on a alors (Z+1)(1+Z²)=0
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Oui pour Z=-1 : c'est le cas Z+1=0
Il te reste le cas 1+Z²=0
1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=.... ou Z=-.....
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Eelevedeseconde dernière édition par
1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=1 ou Z=-1
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Non...Tu confonds avec Z²=1
Tu dois savoir quels sont les nombres complexes dont la carré vaut -1
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Eelevedeseconde dernière édition par
z=(-i)² = -1 et z=i²= -1
Edit:
Z^3+Z^2+Z+1 = (z^4-1)/(Z-1)
on trouve que la quantité est nulle pour Z^4=1
les nombres complexes tels que z^4 = 1 sont :
(-1) ; 1 ; (-i)^4 ; i^4
donc (Z+1)(1+Z^2) = 0 admet pour solution :
S{(-1) ; (-i)^2. ; i^2}
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Je reprends d'abord la première méthode pour résoudre
(Z+1)(1+Z²)=0
Z+1=0 <=>Z=-1
1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=iouZ=-iPour répondre à la question proposée par l'énoncé, il te reste à résoudre les 3 équations :
z−2iz+2i=1\frac{z-2i}{z+2i}=1z+2iz−2i=1
z−2iz+2i=i\frac{z-2i}{z+2i}=iz+2iz−2i=i
z−2iz+2i=−i\frac{z-2i}{z+2i}=-iz+2iz−2i=−i
Tu trouveras ainsi les 3 solutions (en z) de l'équation de départREMARQUE Je ne vois pas trop pourquoi tu changes de méthode...
Si tu veux changer de méthode pour transformer l'équation
z3+z2+z+1=0z^3+z^2+z+1=0z3+z2+z+1=0 avec une suite géométrique, ta transformation est bonne :z4−1z−1=0\frac{z^4-1}{z-1}=0z−1z4−1=0
Ensuite, tes réponses sont confuses.
Il y a la condition Z≠1 (pour dénominateur non nul)
Z4Z^4Z4-1=0 <=>Z4Z^4Z4=1<=> Z²=1 ou Z²=-1 <=> Z=1 ou Z=-1 ou Z=i ou Z=-i
Comme le solution Z=1 ne convient pas , il reste : Z=-1 ou Z=i ou Z=-i
Tu trouver bien sûr la même chose qu'avec la première méthode et tu dois résoudre les 3 équations indiquées précédemment pour trouver z
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Eelevedeseconde dernière édition par
(z-2i)/(z+2i) = 1
Je trouve 1 = 4i(z-2i)/(z+2i) = i
Je trouve z = iz+2i-2(z-2i)/(z+2i) = -i
Je trouve z = -iz-2i²+2i
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Citation
(z-2i)/(z+2i) = 1
Cette équation est impossible ( tu aurais dû trouver 0=4i) mais ce n'est pas un des cas à traiter.
IL faut traiterZ=-1 c'est à direz−2iz+2i=−1\frac{z-2i}{z+2i}=-1z+2iz−2i=−1TU dois trouver z=0z=0z=0
Les deux autre calculs ne sont pas terminés car tu obtiens z en fonction de z...
Tu dois transposer pour que les termes en z soient dans le même membre et terminer le calcul.Je te termine le calcul pour z = iz + 2i - 2
z-iz = 2i - 2 <=>z(1-i)=2i-2
En divisant par (1-i) : z=2i−21−iz=\frac{2i-2}{1-i}z=1−i2i−2
En transformant :z=−2(−i+1)1−iz=\frac{-2(-i+1)}{1-i}z=1−i−2(−i+1)
En simplifiant z=−2z=-2z=−2
Transforme de la même façon le dernier calcul (tu dois trouver z=2z=2z=2)
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Eelevedeseconde dernière édition par
Z = -1 j'obtient
z= -1
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C'est faux. Recompte.
z−2iz+2i=−1↔z−2i=−(z+2i)\frac{z-2i}{z+2i}=-1 \leftrightarrow z-2i=-(z+2i)z+2iz−2i=−1↔z−2i=−(z+2i)
Tu continues. C'est très simple. Tu dois trouver z=0
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Eelevedeseconde dernière édition par
<=> z-2i = -z-2i
<=> z = -z
<=> z = 0
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Oui, mais tu peux détailler plus en transposant
z=-z <=> z+z=0 <=> 2z=0 <=> z=0