Nombres complexes - Equation du 3ème degré



  • Bonsoir, j'aimerais avoir de l'aide afin de résoudre cette équation s'il vous plaît,

    ((z-2i)/(z+2i))^3+((z-2i)/(z+2i))^2+((z-2i)/(z+2i))+1 = 0

    Je ne vois pas comment procéder si vous pouvez m'aiguiller, merci


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Cette équation est définie pour z≠-2i

    Piste pour démarrer,

    Changement d'inconnue z=z2iz+2iz=\frac{z-2i}{z+2i}

    Tu résous l'équation auxiliaire

    z3+z2+z+1=0z^3+z^2+z+1=0

    Pour cela, tu peux facilement factoriser en mettant Z² en facteur dans les deux premiers termes.

    z2(z+1)+(z+1)=0z^2(z+1)+(z+1)=0

    Tu mets ensuite (Z+1) en facteur et tu continues.

    Remarque ; tu peux aussi utiliser la formule de la somme des 4 premiers termes de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison Z, mais ce n'est pas plus simple...

    Lorsque tu auras trouvé les solutions en Z de l'équation auxiliaire, tu cherches les solutions correspondantes en z avec la formule z2iz+2i=z\frac{z-2i}{z+2i}=z

    *Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification. *



  • D'accord merci à vous,

    Je factorise par (Z+1) cela fait donc : (Z+1)(1+Z²)

    Ensuite, je cherche les solutions correspondantes en z ?


  • Modérateurs

    Oui pour la (Z+1)(1+Z²)

    Tu n'as pas encore trouvé les solutions en Z de l'équation

    (Z+1)(1+Z²)=0

    C'est ce qu'il faut faire d'abord, avant de déduire les solutions en z.



  • Lorsque Z = -1 on a alors (Z+1)(1+Z²)=0


  • Modérateurs

    Oui pour Z=-1 : c'est le cas Z+1=0

    Il te reste le cas 1+Z²=0

    1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=.... ou Z=-.....



  • 1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=1 ou Z=-1


  • Modérateurs

    Non...Tu confonds avec Z²=1

    Tu dois savoir quels sont les nombres complexes dont la carré vaut -1



  • z=(-i)² = -1 et z=i²= -1

    Edit:

    Z^3+Z^2+Z+1 = (z^4-1)/(Z-1)

    on trouve que la quantité est nulle pour Z^4=1
    les nombres complexes tels que z^4 = 1 sont :
    (-1) ; 1 ; (-i)^4 ; i^4
    donc (Z+1)(1+Z^2) = 0 admet pour solution :
    S{(-1) ; (-i)^2. ; i^2}


  • Modérateurs

    Je reprends d'abord la première méthode pour résoudre

    (Z+1)(1+Z²)=0

    Z+1=0 <=>Z=-1
    1+Z²=0 <=> Z²=-1 <=>Z=iouZ=-i

    Pour répondre à la question proposée par l'énoncé, il te reste à résoudre les 3 équations :
    z2iz+2i=1\frac{z-2i}{z+2i}=1
    z2iz+2i=i\frac{z-2i}{z+2i}=i
    z2iz+2i=i\frac{z-2i}{z+2i}=-i
    Tu trouveras ainsi les 3 solutions (en z) de l'équation de départ

    REMARQUE Je ne vois pas trop pourquoi tu changes de méthode...

    Si tu veux changer de méthode pour transformer l'équation
    z3+z2+z+1=0z^3+z^2+z+1=0 avec une suite géométrique, ta transformation est bonne :

    z41z1=0\frac{z^4-1}{z-1}=0

    Ensuite, tes réponses sont confuses.

    Il y a la condition Z≠1 (pour dénominateur non nul)

    Z4Z^4-1=0 <=>Z4Z^4=1<=> Z²=1 ou Z²=-1 <=> Z=1 ou Z=-1 ou Z=i ou Z=-i

    Comme le solution Z=1 ne convient pas , il reste : Z=-1 ou Z=i ou Z=-i

    Tu trouver bien sûr la même chose qu'avec la première méthode et tu dois résoudre les 3 équations indiquées précédemment pour trouver z



  • (z-2i)/(z+2i) = 1
    Je trouve 1 = 4i

    (z-2i)/(z+2i) = i
    Je trouve z = iz+2i-2

    (z-2i)/(z+2i) = -i
    Je trouve z = -iz-2i²+2i


  • Modérateurs

    Citation
    (z-2i)/(z+2i) = 1
    Cette équation est impossible ( tu aurais dû trouver 0=4i) mais ce n'est pas un des cas à traiter.
    IL faut traiterZ=-1 c'est à direz2iz+2i=1\frac{z-2i}{z+2i}=-1

    TU dois trouver z=0z=0

    Les deux autre calculs ne sont pas terminés car tu obtiens z en fonction de z...
    Tu dois transposer pour que les termes en z soient dans le même membre et terminer le calcul.

    Je te termine le calcul pour z = iz + 2i - 2

    z-iz = 2i - 2 <=>z(1-i)=2i-2

    En divisant par (1-i) : z=2i21iz=\frac{2i-2}{1-i}

    En transformant :z=2(i+1)1iz=\frac{-2(-i+1)}{1-i}

    En simplifiant z=2z=-2

    Transforme de la même façon le dernier calcul (tu dois trouver z=2z=2)



  • Z = -1 j'obtient

    z= -1


  • Modérateurs

    C'est faux. Recompte.

    z2iz+2i=1z2i=(z+2i)\frac{z-2i}{z+2i}=-1 \leftrightarrow z-2i=-(z+2i)

    Tu continues. C'est très simple. Tu dois trouver z=0



  • <=> z-2i = -z-2i
    <=> z = -z
    <=> z = 0


  • Modérateurs

    Oui, mais tu peux détailler plus en transposant

    z=-z <=> z+z=0 <=> 2z=0 <=> z=0


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