Suites en tous genres

Bonjour, cette fois-ci je propose des énigmes sur les suites, par ordre croissant de difficulté:
Première énigme, une somme.
Soit $U_n$ ) la suite définie par U $< e m > n$ = $6*10^{-n}$ et de premier terme $U_1$ . Déterminer la somme des termes de la suite quand n tend vers +inf/ .
Deuxième énigme, une suite logique.
Déterminer les trois termes suivants de cette suite logique:
110 ; 20 ; 12 ; 11 ; 10 ; 6 ; ? ; ? ; ?
Troisième énigme, aïe !
Soit la suite $U_n$ ) de premier terme $U_1$ = $1989^{1989}$ telle que, à partir de n=2, $U_n$ est la somme des chiffres de $U</em>{n-1}$ . Déterminer, en précisant la méthode, la valeur de $U_5$ . Bonne chance...Voilà !

Voilà ! einstein3 va peut-être trouver son bonheur ici.

salut,

je ne pense pas que cela tienne d'enigme !... mais pour le 1)

on trouve Sn=20/3.(1-10^-(n+1)) et limSn quand n tend vers l'infini

vaut 20/3 sauf erreur de calcul.

Je sais, c'est pas une énigme comme celles que je propose d'habitude. Mais j'ai trouvé que l'occasion était trop belle, avec la demande de einstein3, de pouvoir placer ce genre de questions. Promis, la prochaine énigme sera plus "conventionelle" (elle est d'ailleurs déjà toute prête)! En attendant résolvez celles-là ! Ah oui : c'est pas 20/3 (c'est quelle formule, que tu as utilisée ?), mais tu n'es pas loin du but. Voilà !

Je devine que certains doivent attendre la prochaine énigme. D'ailleurs, moi non plus, je ne veux pas poireauter comme pour ma dernière énigme. Je donne donc quelques pistes :
-Première énigme. Ecrivez la somme des premiers termes de la suite, la solution saute aux yeux.
-Deuxième énigme. Tous les termes de la suite valent la même chose. Si, si...
-Troisième énigme. Partir du principe (admis) que si x possède n chiffres, le nombre $x^a$ possède au maximum a*n chiffres.
Voilà !

pourtant je suis pas mal de l'avis du 2/3. (pour info, ca fait 0.666666666... )

C'est en effet 2/3, bravo! Encore 2 questions...Voilà !

Je donne encore un indice pour la question 2 , tous ces nombres valent la même chose, mais ils ne sont pas écrits de la même manière. Pour la question 3, combien $1989^{1989}$ possède-t-il de chiffres au maximum ? Voilà !

Je suis encore une fois de retour ! Mes deux questions restantes n'ont malheureusement pas été résolues, je ne sais pourquoi. Je donne donc encore des indices.
La question 2 est au final un problème basique.
Pour la 3, calculer la valeur maximale de chaque terme de la suite.

$u_5$ = 9 ?

1989 est un multiple de 9 donc $u_n$ l'est aussi.

$1989^{1989}$ < $(10$ ^5 $^{1989}$
soit $1989^{1989}$ < $10^{9945}$
Or 9945foi/9=89505 donc
$u_2$ < 89505 (nombre à 5 chiffres)
$u_3$ < 9foi/5 (= 45 nombre à 2 chiffres)
$u_4$ < 9foi/2

A partir de $u_5$ au moins la suite est stationnaire. $u_5$ = 9

Excellent ! Parfait ! C'est tout à fait ça ! Maintenant plus que la deuxième question et l'énigme sera résolue... J'en proposerai une autre, comme d'habitude... Voilà !

Très jolie démo en effet...

Réponse à cette énigme :
"Deuxième énigme, une suite logique.
Déterminer les trois termes suivants de cette suite logique:
110 ; 20 ; 12 ; 11 ; 10 ; 6 ; ? ; ? ; ?"

Bonjour à tous,
Je pense avoir trouvé la réponse à la deuxième question. En notant $u_0$ = 110, $u_1$ =20...,
la suite est en fait égale à la suite constante, toujours égale à
$u_n$ = 6, mais avec 6 écrit dans la base n+2.
C'tait plutôt rigolo, vivement d'autres énigmes!
Nico

C'est parfait. Dans 5 minutes, la prochaine énigme... Voilà !

Bonne question, après réflexion sur les indices...

je pense que c'est le 6 et toujours le 6 pour les suivants.
Le 6 est écrit dans la
base 2 = 0110 = 2220 + 221 + 21 + 20 = 0 + 4 + 2 + 1 = 6
base 3 = 020 = 330 + 32 + 30 = 0 + 6 + 0 = 6
base 4 = 012 = 440 + 41 + 2 = 0 + 4 + 2 = 6
base 5 = 011 = 50 + 51 + 1 = 0 + 5 + 1 = 6
base 6 = 010 = 60 + 61 + 0 = 0 + 6 +0 = 6
base 7 = 006 = 6
base 8 et suivante = 6

ouffff

Dick