continuité, bijection

Bonjour,

j'ai fais cet exercice,type entrainement à la prépa

Partie 1: 1 à 4

Pourrai je avoir une correction et vos suggestion pour améliorer mon raisonnement,en vous remerciant.

$f(x)=1xe1x2ln(x)f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } ln\left( x \right) }$

$g(x)=e3xxe2xx2e4xg\left( x \right) =\frac { { e }^{ 3x }\sqrt { x } }{ \sqrt { { e }^{ 2x }{ x }^{ 2 }{ e }^{ 4x } } }$

1)recherche $d f$

$x↦1xe1x2ln(x)x\mapsto\frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } ln\left( x \right) }$ , est le produit de plusieurs fonctions,toutes continue et dérivable dans leurs intervalles de définition respectifs .En particulier, $x↦ln(x)x\mapsto ln(x)$ qui prends ses valeurs dans un ensemble de définition strictement positif.

C.E
Evidement, $f (x)$ existe si et seulement si $x >0$ , $x∈]0,+∞[x\in]0,+\infty[$ est le domaine de la fonction.

Propositions

2)****dérivable en O, justifier? $∀x∈i\forall x\in{\displaystyle \mathbb {i} }$ $f(x)≠0f(x)\neq0$ ,justifier,?

**i)**Supposé continue en $0$ alors $lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } } f(x)=\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } } f(x)=f(0)$

or$x >0$, $¬∃\neg \exists$ $\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ - } } f(x) \$ $\leftrightarrow \$ $¬∃f(0)\neg \exists f(0)$

Cl :.Une fonction non dérivable en $0$ est nécessairement non continue en $0$ .ce réél est non dérivable.La proposition est fausse!

ii) $∀x∈i\forall x\in{\displaystyle \mathbb {i} }$ $lim⁡x→0+,∞f(x)≠0\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + },\infty } f\left( x \right) \neq 0$

changement de variable, pour$x\rightarrow { 0 }^{ + } \$

On pose:

$u=1x→x=1uu=\frac { 1 }{ x } \rightarrow x=\frac { 1 }{ u }$ $u→∞u\rightarrow \infty$

$lim⁡x→0+1xeln⁡xx2=lim⁡u→∞u.e−ln⁡(u)u−2=lim⁡u→∞u.e−(u2ln⁡u)=lim⁡u→∞ue∞=0\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } } \frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }=\quad \lim _{ u\rightarrow \infty } u.{ e }^{ \frac { -\ln { \left( u \right) } }{ { u }^{ -2 } } }=\lim _{ u\rightarrow \infty } u.{ e }^{ -\left( { u }^{ 2 }\ln { u } \right) }=\lim _{ u\rightarrow \infty } \frac { u }{ { e }^{ \infty } } =0$

$lim⁡x→0+f(x)=0\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } } f\left( x \right) =0$

Cl: $∃x∈i∣f(x)=0\exists x\in i|f(x)=0$ la proposition est fausse!

3)Montrer que$f \$ est bornée et deduire son signe.

Une attention particulière est donné à $x↦ln(x)x\mapsto ln(x)$ car l'image de $r+∗\mathbb{r}_+^*$ par $f$ est $r\mathbb{r}$ .Supposons $ln(x)≤0ln(x)\le 0$
$→\rightarrow$ $x≤1x\le1$

$1x≥1\frac { 1 }{ x } \ge 1$ , $1x2≥1x≥1\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ x } \ge 1$

$\frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } } }\le { \frac { \ln { x } }{ x } }\le \ln { x }$

, $1xeln⁡xx2≤1xeln⁡xx≤1xeln⁡x\frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }\le \frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ x } }\le \frac { 1 }{ x } { e }^{ \ln { x } }$

comme , $lim⁡x→0+1xeln⁡xx2=0\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } } \quad \frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }=0$

et $1xeln⁡x=xx=1\frac { 1 }{ x } { e }^{ \ln { x } }=\frac { x }{ x } =1$

alors,$0\le \frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }\le \frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ x } }\le \1$

Cl: $0≤f(x)≤10\le f\left( x \right) \le 1$ la fonction est bornée par des valeurs positives!

4)Montrer que g est strictement décroissante,(interdiction de dériver)

$g(x)=e3xxe2xx2e4x=x(ex)3(exx)2(ex)4=x(ex)3x(ex)3g\left( x \right) =\frac { { e }^{ 3x }\sqrt { x } }{ \sqrt { { e }^{ 2x }{ x }^{ 2 }{ e }^{ 4x } } } =\sqrt { x } \frac { { \left( { e }^{ x } \right) }^{ 3 } }{ \sqrt { { \left( e^{ x }x \right) }^{ 2 } } \sqrt { { \left( { e }^{ x } \right) }^{ 4 } } } =\frac { { \sqrt { x } \left( { e }^{ x } \right) }^{ 3 } }{ { x{ \left( { e }^{ x } \right) }^{ 3 } } }$

$g(x)=1xg\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { x } }$

ainsi, $g (x)$ est définie,donc continue sur $r+∗\mathbb{r}_+^*$ , par ailleurs $∀x∈i\forall x\in{\displaystyle \mathbb {i} }$ $f(x)>0$

on pose$xx'\in{\displaystyle \mathbb {i}$ |$x>x'$

$x>x'$

$\sqrt { x } >\sqrt { x' } \$

$\frac { 1 }{ \sqrt { x' } } >\frac { 1 }{ \sqrt { x } } \$

$f\left( x' \right) >f\left( x \right) >0 \$

Cl:$x>x'$ et $f(x)f\left( x \right)$ < $f(x′)f\left( x' \right)$ $→\rightarrow$ strictement décroissante!

Partie 2: 5....c' est sur la bijection Pourrai je la poster demain,un peu fatiguée? merci.

Bonjour,

Je commence à regarder tes deux premières questions.

Oui pour Df

2)i) f non définie en 0 (f(0) n'existe pas ) doncf non dérivable en 0

Cela est suffisant car dans la définition de dérivabilité en 0 il faut rechercher la limite de $f(x)−f(0)x−0\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Ne pas parler de continuité.

2)ii)
f(x)=0 <=> $1x=0\frac{1}{x}=0$ ou $e^{\frac{lnx}{x^2}=0$

Sur Df, tu peux justifier facilement que cela est impossible.

Une remarque au sujet de la continuité.

Par théorème

dérivabilité (en 0) => continuité (en 0)

Par théorème contraposé

non continuité (en 0)=> non dérivabilité (en 0)

MAIS

Une fonction peut être non dérivable (en 0) ET continue (en 0)

exemple h(x)=|x|

h n'est pas dérivable en 0 (nombre dérivé à gauche ≠nombre dérivé à droite) Et h est continue en 0 $\lim_{x\to 0}|x|=|0|=0 )$

Je regarde la 3ème question.

Tu as traité le cas 0 < x ≤ 1

Tes encadrements sont bons.

Une seule remarque pour le minorant : tu utilises la limite lorsque x tend vers 0+
C'est exact mais utiliser cette limite sous entend que la fonction est croissante sur ]0,1] ce qui est vrai mais non prouvé.
Il vaut mieux minorer directement par 0 ( vu que x > 0 et la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives).

Bien sûr, il te reste à traiter le cas x >1 , mais la démarche et l'encadrement final sont les mêmes.

Je regarde la 4ème question

C'est bon pour la démonstration ; j'imagine que tu as fait des fautes de frappe car g s'appelle f...

Attention : confusion relative à la continuité.

Tu as écrit "g est définie donc continue"

C'est inexact.

Une fonction peut être définie sans être continue.

exemple : la fonction"partie entière" est définie sur R et a une discontinuité à chaque valeur entière.

D'ailleurs , dans la démonstration, il n'y a pas besoin de continuité.

Bonjour,

voici la question,: soient $a, b$ deux réels strictement positifs et solution de l'equation $f (x) = g (x)$ .
-Deduire l'intervalle de bijection commun à ces deux fonctions vérifiant $,b\ge a>0$
-préciser le cas échéant la position de $c f$ par rapport à $c g$

Partie2,
intersection

$\frac { 1 }{ \sqrt { x } } =\frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { lnx }{ { x }^{ 2 } } }\ \ \$

Par changement de variable, on pose :

$u=1x→x=1uu=\frac { 1 }{ x } \rightarrow x=\frac { 1 }{ u }$

$\left( u \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=u{ e }^{ -{ u }^{ 2 }ln(u) }$

$}^{ 1-\frac { 1 }{ 2 } }{ e }^{ { -u }^{ 2 }\ln { u } }$

$\ x>0,\quad 0=\frac { 1 }{ 2 } \ln { u } -{ u }^{ 2 }\ln { u } \$

$ln { u } .\left[ \frac { 1 }{ 2 } -{ u }^{ 2 } \right] =0\$

$elnu=1,→u=1x=11→a=1\ { e }^{ lnu }=1\quad ,\quad \rightarrow \quad u=\frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ 1 } \rightarrow \quad a=1$

$u2=12→u=1x=12→b=2\ { u }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \rightarrow u=\frac { 1 }{ x } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \rightarrow b=\sqrt { 2 }$

$s=[1,2]s=\left[ 1,\sqrt { 2 } \right]$

monotonie

$f′(x)=−1x2eln⁡xx2+[−2xln⁡xx4+(1x1x2)]eln⁡xx2.1xf'\left( x \right) =\frac { -1 }{ { x }^{ 2 } } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }+\left[ -\frac { 2x\ln { x } }{ { x }^{ 4 } } +\left( \frac { 1 }{ x } \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right) \right] { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }.\frac { 1 }{ x }$

$=1xeln⁡xx2[1x3−2xln⁡xx4]−1x2eln⁡xx2=\frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }\left[ \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } } -\frac { 2x\ln { x } }{ { x }^{ 4 } } \right] \quad -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }$

$=1xeln⁡xx2[x−2xln⁡xx4−1x]=1xeln⁡xx2[x−x3−2xln⁡xx4]=\frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }\left[ \frac { x-2x\ln { x } }{ { x }^{ 4 } } -\frac { 1 }{ x } \right]=\frac { 1 }{ x } { e }^{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ 2 } } }\left[ \frac { x-{ x }^{ 3 }-2x\ln { x } }{ { x }^{ 4 } } \right]$

$f′(x)=f(x).[1−x2−2ln⁡xx3]f'\left( x \right) \quad =f\left( x \right) .\left[ \frac { 1-{ x }^{ 2 }-2\ln { x } }{ { x }^{ 3 } } \right]$

$\ f\left( x \right) \in\mathbb{r}_+ \quad \rightarrow \left[ \frac { 1-{ x }^{ 2 }-2\ln { x } }{ { x }^{ 3 } } \right] =0\$

$xo =1-{ x }^{ 2 }=2\ln { x } =1$

sur $]0,1]\quad \quad \quad f\quad \quad \quad \nearrow \$ max en 1

sur $[1,\infty [\quad \quad f\quad \quad \quad \searrow \quad 0\$(strictement)

Cl :f est strictement monotone pour $x≥1x\ge 1$

On sait que $g$ et $f$ st strictement décroissante donc strictement monotone,dans leurs intervalles respectifs.D'apès le théorème des valeurs intermédiaire, ces fonctions admettent chacune une solution unique, dans leurs ensemble de définition.On peut alors affirmer que $c f$ et $c g$ réalisent une bijection et puisque,$,b\ge a>0$ alors $x∈x\in$ $\sqrt { 2 }]$ est l'intervalle de bijection commun à $f, g$

Cl: $f, g$ : $\sqrt { 2 } ]$ $⟶\longrightarrow$ $[f(2),1][f(\sqrt { 2 }),1]$

merci,mtschoon

En ce qui la Q2(i) mon idéé étais justement d'apporter la preuve par l’étude de continuité en 0, sachant que la réciproque est fausse.

Merci beaucoup pour vôtre analyse sa m'aide

L'étude de la continuité à 0 n'a pas de sens car f n'étant pas définie à 0 (f(0) n'existe pas) elle ne peut pas être continue en 0 .
Rappel de la continuité d'une fonction f en 0: $lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$
Pour la continuité à droite en 0: $lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$
Pour la continuité à gauche en 0: $lim⁡x→0−f(x)=f(0)\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)$

C'est bon pour la question 5. Elle me semble bien comprise.

Une remarque : ta phrase n'est pas très précise car tu parles du théorème des valeurs intermédiaires , mais il faut préciser cas de la bijection.

Je t'indique le théorème que tu peux indiquer dans ce cas:

Théorème de la bijection entre segments
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b] et à valeurs réelles, alors elle constitue une bijection entre [a, b] et l'intervalle fermé dont les bornes sont f(a) et f(b).

Bravo pour ton travail !

merci,

De rien!

A+