Droites dans l'espace

Bonjour;

J'ai un exercice en géométrie et je suis bloquée à la derniere question pourrais-je avoir une petite aide s'il vous plait.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé on considère les vecteurs u(1;2;-1) et v(-1;1;2)
(D) est la droite de vecteur directeur u passant par le point A(6;1;1) et (Δ) est la droite de vecteur directeur v passant par le point B(3;-3;-3)

a) Donner une representation paramétrique de chacune de ces droites.
b) Combien existe-t-il de points E de (D) et F de (Δ) tels que le point I(1;-2;3) soit le milieu du segment [EF]? Justifiez avec soin votre réponse en donnant les coordonnées des points E et F s'ils existent.

Réponses:

a) x=6+t
(D) y=1+2t avec t ∈ $mathbb{R}$
z=1-t

x=3-s
(Δ) y=-3+s avec s∈ $mathbb{R}$
z=-6+s

Ensuite pour la question b); je ne sait pas par où commencer ..

Merci

Bonjour,

Je regarde tes réponses à la 1)

Oui pour la représentation paramétrique de (D)

Pour (Δ) il y a peut-être des confusions dans les données de B ou de (Δ) car z=-6+s ne s'explique pas...

Idée pour la question 2)

Coordonnées du milieu d'un segment

$\text{x_i=\frac{x_e+x_f}{2}\ \ y _i=\frac{y_e+y_f}{2}\ \ z_i=\frac{z_e+z_f}{2}$

Oui j'ai oublié le 2 donc z= -6+2s

Pour la question 2) On peut remplacer $x_I$ ; $y_I$ et $z_I$ par les coordonnées de I donc :
1=xe+xf/2
-2=ye+yf/2
3=ze+zf/2
On a ensuite:
2=xe+xf
-4=ye+yf
6=ze+zf Est-ce correct ?

Ensuite je suis bloquée..

Merci de vérifier avec soin les données que tu as écrites, c'est à dire les coordonnées de u, v, A et B
J'ai encore un doute car la moindre erreur à la 1) va fausser la 2)

En effet; j'ai fait une erreur pour les coordonnées du point B(3; -3; -6)

D'accord. Maintenant, il n'y a plus de contradiction.

Pour la 2), tu continues la démarche

Vu que E est sur (D), tu remplaces xE,yE, zE par 6+t,1+2t,1-t

Vu que F est sur (Δ), tu remplaces xF,yF, zF par 3-s,-3+s,-6+2s

Tu obtiens un système d'inconnues t et s à résoudre

Tu trouveras les valeurs de s et de t qui conviennent à la condition demandée

Tu pourras en déduire les coordonnées de E et F

2=6+t+3-s
-4=1+2t-3+s
6=1-t-6+2s

⇔

-4-t=3-s
-5-2t=-3+s
5+t=-6+2s

⇔

t=-7+s
-3s=-6
0=6

⇔

t=-7+s
s=2
0=6

⇔
t=-5
s=2
0=6

Le départ est bon :

$\left{2=6+t+3-s\-4=1+2t-3+s\ 6=1-t-6+2s \right$

Commence par simplifier chaque équation

Je n'ai pas vérifié tes calculs mais je te suggère de les refaire.

Tu dois trouver t=-3 et s=4

J'ai repris le calcul plusieurs fois mais je ne trouves pas le bon résultat; pouvez-vous juste m'indiquer le début du calcul s'il vous plait

Je t'ai déjà donné le système de départ

En simplifiant chaque équation, tu dois obtenir

$\left{t-s=-7\2t+s=-2\-t+2s=11\right$

Vu que tu as deux inconnues à trouver, tu peux utiliser seulement les deux premières équations, et ensuite, tu vérifies que les valeurs trouvées conviennent à la troisième

En ajoutant membre à membre les deux premières équations : 3t=-9, d'où t=-3

En remplaçant t par -3 dans la seconde équation, tu trouvess=4

Tu vérifies que t=-3 et s=4 satisfont à la 3ème : -(-3)+2(4)=...

Merci, j'ai bien trouvé à la 3eme équation que 11=11
Je n'ai pas réussit à en deduire les coordonnées de E et F grâce à t et s..

Point E :

x=6+t=6+(-3)=...
y=1+2t=1+2(-3)=...
z=1-t=1-(-3)=...

Pour le point F, tu utilises la même démarche en remplaçant s par 4 dans la représentation paramétrique de (Δ)

Pour le point E(3; -5;2) et le point F(-1;1;2)

Pour F , c'est bon
Pour E, il y a une erreur sur z

z=-2

Non.

z=1-(-3)=1+3=4

Ah oui en effet je ne n'avait pas fait attention au deux signes moins.

Donc pour répondre à la question , on dit qu'il existe un point E et un point F seulement ?

Oui.

D'accord merci beaucoup de votre aide !

De rien ,et fais attention aux calculs !