Droites dans l'espace



  • Bonjour;

    J'ai un exercice en géométrie et je suis bloquée à la derniere question pourrais-je avoir une petite aide s'il vous plait.

    Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé on considère les vecteurs u(1;2;-1) et v(-1;1;2)
    (D) est la droite de vecteur directeur u passant par le point A(6;1;1) et (Δ) est la droite de vecteur directeur v passant par le point B(3;-3;-3)

    a) Donner une representation paramétrique de chacune de ces droites.
    b) Combien existe-t-il de points E de (D) et F de (Δ) tels que le point I(1;-2;3) soit le milieu du segment [EF]? Justifiez avec soin votre réponse en donnant les coordonnées des points E et F s'ils existent.

    Réponses:

    a) x=6+t
    (D) y=1+2t avec t ∈mathbbRmathbb{R}
    z=1-t

    x=3-s
    (Δ) y=-3+s avec s∈mathbbRmathbb{R}
    z=-6+s

    Ensuite pour la question b); je ne sait pas par où commencer ..

    Merci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je regarde tes réponses à la 1)

    Oui pour la représentation paramétrique de (D)

    Pour (Δ) il y a peut-être des confusions dans les données de B ou de (Δ) car z=-6+s ne s'explique pas...

    Idée pour la question 2)

    Coordonnées du milieu d'un segment

    $\text{x_i=\frac{x_e+x_f}{2}\ \ y _i=\frac{y_e+y_f}{2}\ \ z_i=\frac{z_e+z_f}{2}$



  • Oui j'ai oublié le 2 donc z= -6+2s

    Pour la question 2) On peut remplacer xIx_I ; yIy_I et zIz_I par les coordonnées de I donc :
    1=xe+xf/2
    -2=ye+yf/2
    3=ze+zf/2
    On a ensuite:
    2=xe+xf
    -4=ye+yf
    6=ze+zf Est-ce correct ?

    Ensuite je suis bloquée..


  • Modérateurs

    Merci de vérifier avec soin les données que tu as écrites, c'est à dire les coordonnées de u, v, A et B
    J'ai encore un doute car la moindre erreur à la 1) va fausser la 2)



  • En effet; j'ai fait une erreur pour les coordonnées du point B(3; -3; -6)


  • Modérateurs

    D'accord. Maintenant, il n'y a plus de contradiction.

    Pour la 2), tu continues la démarche

    Vu que E est sur (D), tu remplaces xE,yE, zE par 6+t,1+2t,1-t

    Vu que F est sur (Δ), tu remplaces xF,yF, zF par 3-s,-3+s,-6+2s

    Tu obtiens un système d'inconnues t et s à résoudre

    Tu trouveras les valeurs de s et de t qui conviennent à la condition demandée

    Tu pourras en déduire les coordonnées de E et F



  • 2=6+t+3-s
    -4=1+2t-3+s
    6=1-t-6+2s

    -4-t=3-s
    -5-2t=-3+s
    5+t=-6+2s

    t=-7+s
    -3s=-6
    0=6

    t=-7+s
    s=2
    0=6


    t=-5
    s=2
    0=6


  • Modérateurs

    Le départ est bon :

    $\left{2=6+t+3-s\-4=1+2t-3+s\ 6=1-t-6+2s \right$

    Commence par simplifier chaque équation

    Je n'ai pas vérifié tes calculs mais je te suggère de les refaire.

    Tu dois trouver t=-3 et s=4



  • J'ai repris le calcul plusieurs fois mais je ne trouves pas le bon résultat; pouvez-vous juste m'indiquer le début du calcul s'il vous plait


  • Modérateurs

    Je t'ai déjà donné le système de départ

    En simplifiant chaque équation, tu dois obtenir

    $\left{t-s=-7\2t+s=-2\-t+2s=11\right$

    Vu que tu as deux inconnues à trouver, tu peux utiliser seulement les deux premières équations, et ensuite, tu vérifies que les valeurs trouvées conviennent à la troisième

    En ajoutant membre à membre les deux premières équations : 3t=-9, d'où t=-3

    En remplaçant t par -3 dans la seconde équation, tu trouvess=4

    Tu vérifies que t=-3 et s=4 satisfont à la 3ème : -(-3)+2(4)=...



  • Merci, j'ai bien trouvé à la 3eme équation que 11=11
    Je n'ai pas réussit à en deduire les coordonnées de E et F grâce à t et s..


  • Modérateurs

    Point E :

    x=6+t=6+(-3)=...
    y=1+2t=1+2(-3)=...
    z=1-t=1-(-3)=...

    Pour le point F, tu utilises la même démarche en remplaçant s par 4 dans la représentation paramétrique de (Δ)



  • Pour le point E(3; -5;2) et le point F(-1;1;2)


  • Modérateurs

    Pour F , c'est bon
    Pour E, il y a une erreur sur z



  • z=-2


  • Modérateurs

    Non.

    z=1-(-3)=1+3=4



  • Ah oui en effet je ne n'avait pas fait attention au deux signes moins.

    Donc pour répondre à la question , on dit qu'il existe un point E et un point F seulement ?


  • Modérateurs

    Oui.



  • D'accord merci beaucoup de votre aide !


  • Modérateurs

    De rien ,et fais attention aux calculs !


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